Stereometrics, 1

1.1.1σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου ποδῶν ῑ εὑρεῖν τὸ στερεόν. Ἀρχιμήδης ἐν τοῖς Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου δείκνυσιν, ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας · ὥστε κατὰ τοῦτον τὸν λόγον δεῖ τὰ ῑ ἐφ’ἑαυτὰ λαβεῖν, καὶ τῶν γινομένων ἐπὶ τὰ ια τὸ ιδʹ, καὶ ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου πολυπλασιασθέντα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ῑ, καὶ τῶν γινομένων λαβεῖν τὸ Ϛʹ ϛʹ καὶ ἀποφέρεσθαι ἐπὶ τὸ τῆς σφαίρας στερεόν · εἰσὶ δὲ πόδες φκγ καὶ ιζ εἰκοστομόνα.

1.1.2κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον δείκνυται, ὡς ια κύβοι ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἴσοι γίνονται κα σφαίραις · ὥστε δεήσει τὰ ῑ κυβίσαντα · ἔστι δὲ ͵ᾱ · τούτων λαβεῖν τὸ ἐνδεκάκις καʹ · καὶ τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

1.2.1σφαῖρα, ἧς ἡ περίμετρος ποδῶν κβ · εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · λαβὲ ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον ἀπὸ τοῦ ὑποκειμένου ὑποδείγματος τῶν κύκλων καὶ ἔσται ἡ διάμετρος ποδῶν ζ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται μθ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ ζ · γίνονται τμγ · καὶ ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ · γίνονται ͵γψογ. ταῦτα ἀνάλυσον παρὰ τὰ κα · γίνονται ροθ ωʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

1.2.2τὴν δὲ ἐπιφάνειαν εὑρήσομεν οὕτως · ἀεὶ θὶς τὴν διάμετρον · γίνονται ιδ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ · γίνονται ρνδ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

1.3.1ἄλλως. σφαῖρα, ἧς ἡ διάμετρος, τουτέστιν ὁ ἄξων, ποδῶν ζ εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · τὰ ζ τῆς διαμέτρου κύβισον, τουτέστιν αὐτὰ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται μθ · καὶ ταῦτα πάλιν ἑπτάκις · γίνονται τμγ. ταῦτα ἀεὶ δεκάκις καὶ ἅπαξ · γίνονται, γψογ · ὧν τὸ καʹ · γίνονται ροθ ωʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας. σφαῖραν μετρήσομεν, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν κβ · εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · τὴν διάμετρον ἐφ’ἑαυτήν · γίνονται μθ. ταῦτα ποιῶ πάλιν ἐπὶ τὴν διάμετρον τῶν ζ · γίνονται πόδες τμγ · ταῦτα πολυπλασιάζω ἑνδεκάκις · γίνονται πόδες ͵γψογ · ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν κᾶ · γίνονται ροθ β. τοσούτου ἐστὶ τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας. τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς αὐτῆς σφαίρας εὑρήσομεν οὕτως · πάντοτε τὴν διάμετρον τῶν ζ ἐπὶ τὴν περίμετρον τῶν κβ · γίνονται πόδες ρνδ. τοσούτου ἔσται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, ποδῶν ρνδ.

1.4.1σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ῑ · εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως · τὴν διάμετρον ἐφ’ἑαυτήν · γίνονται ρ. ταῦτα καθολικῶς ποίησον ἐνδεκάκις · γίνονται, αρ. τούτων λαβὲ τὸ ιδʹ · γίνονται οη Ϛʹ ιδʹ. ταῦτα καθολικῶς ποίησον τετράκις · γίνονται τιδ δʹ κηʹ. τοσούτου γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

1.4.2ἐποίησα δὲ τὰ γενόμενα τετράκις παρὰ ταύτην τὴν αἰτίαν · δείκνυσι γὰρ Ἀρχιμήδης, ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας τετραπλάσιον ἑνὸς μεγίστου κύκλου.

1.5.1ἄλλως μετρῆσαι τὴν ἐπιφάνειαν. ποίησον οὕτως · τὴν διάμετρον ἐφ’ἑαυτήν · γίνονται ρ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὰ μδ · γίνονται ͵δυ. τούτων λαβὲ τὸ ιδʹ · γίνονται τιδ δʹ κηʹ. τοσούτων ποδῶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

1.6.1ἄλλως. ποίησον τὴν διάμετρον δίς · γίνονται κ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται υ. ταῦτα ἐνδεκάκις · γίνονται, δυ. τούτων τὸ ιδʹ · γίνονται τιδ δʹ κηʹ. τοσούτων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

1.7.1πάλιν σφαίρας τὸ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως · ἡ διάμετρος ποδῶν ῑ. κύβισον τὰ ῑ · ἐφ’ἑαυτὰ γίνονται ρ · ταῦτα πάλιν ἐπὶ ῑ · γίνονται ͵ᾱ. ταῦτα ποίησον ἐνδεκάκις καὶ τούτων λαβὲ τὸ καʹ · καὶ γίνεται τὸ στερεὸν φκγ καὶ ιζ καʹ. ἐποιήσαμεν δὲ τὰ γενόμενα ἐνδεκάκις καὶ τὸ καʹ ἐλάβομεν διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν · δείκνυσιν Ἀρχιμήδης, ὅτι ια κύβοι ἴσοι γίνονται κα σφαίραις.

1.8.1ἄλλως. σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν δ. ποίει οὕτως · μέτρει κύκλον · γίνεται ἄρα ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ιβ Ϛʹ ιδʹ · γίνεται καὶ ἡ βάσις τοῦ περελαμβάνοντος κυλίνδρου τὴν σφαῖραν τὸ αὐτό. πολυπλασιάζω οὖν τὰ ιβ Ϛʹ ιδʹ ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου τοῦ περιλαμβάνοντος τὴν σφαῖραν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ δ γίνονται δʹ κηʹ · τοσούτου γίνεται ὁ αὐτὸς κύλινδρος. καὶ ἐλάβομεν τὰ β μέρη τῶν ν δʹ κηʹ · καὶ τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας · ἔστι δὲ λγ Ϛʹμβʹ.

1.9.1ἄξων σφαίρας τί ἐστιν; εὐθεῖα διὰ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ’ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς σφαίρας, ἀμετακίνητος, περὶ ἣν ἡ σφαῖρα κινεῖται καὶ στρέφεται.

1.10.1ἐὰν σφαῖρα τμηθῇ, ἡ τομὴ κύκλος γίνεται. τῶν δὲ ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ μέσου τὴν σφαῖραν τέμνουσιν, οἱ δὲ οὔ · οἱ μὲν οὖν διὰ μέσου τέμνοντες καλοῦνται μέγιστοι καὶ πάντες ἀλλήλοις ἴσοι εἰσίν, οἱ δὲ οὐ διὰ μέσου οὐ πάντες πᾶσιν ἴσοι, ἀλλά τινές τισι. καὶ ἔτι τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἳ μέν εἰσιν ὀρθοὶ πρὸς τὸν ἄξονα, οὗτοι ἑαυτοῖς παράλληλοί εἰσιν · παράλληλοι δέ εἰσιν οἱ τὸ αὐτὸ ἀεὶ διάστημα μεταξὺ ἔχοντες ἑαυτῶν καὶ μήτε μεῖζον μιήτε ἔλαττον.

1.11.1ὁρίζων κύκλος ἐστίν, ὃς καὶ αὐτὸς διὰ μέσου τέμνει τὴν σφαῖραν εἴςτε τὸ ἀφανὲς καὶ τὸ φαινόμενον, ἀφ’οὗ καὶ ὁρίζων ἐκλήθη. διαφοραὶ δὲ τῶν ὁριζόντων πλείους · ὁ μὲν γὰρ ἔστι διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, ὁ δὲ ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα · καὶ ὅσαι εἰσὶ διαφοραὶ τῶν ὁριζόντων, τοσαῦται διαφοροὶ καὶ θέσεις τῆς σφαίρας τυγχάνουσιν.

1.12.1ὀξὺς κῶνος, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ποδῶν ζ, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ποδῶν λ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · ὥσπερ ἐπὶ τῶν κύκλων ἀπὸ τῶν ζ τῆς διαμέτρου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λη Ϛʹ · καὶ λαβὲ ἀπὸ τῶν λ τοῦ ὕψους, τουτέστι τῆς καθέτου, τὸ γʹ · γίνονται ῑ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λη Ϛʹ · γίνονται τπε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κώνου. κῶνον μετρήσομεν, οὗ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως ποδῶν ζ, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ποδῶν λ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως · ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων ἀπὸ τῶν ζ ποδῶν τῆς διαμέτρου ἔστω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λη Ϛʹ · καὶ λαμβάνω ἀπὸ τῶν λ ποδῶν τοῦ ὕψους ἢ τῆς καθέτου τὸ γʹ · γίνονται ῑ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ λη Ϛʹ ·γίνονται πόδες τπε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

1.13.1ἄλλως ὁ αὐτὸς κῶνος ὀξυγώνιος. μετρήσωμεν οὕτως · ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου ποδῶν ϛ, ὁ δὲ ἄξων ποδῶν ιβ, ὅ ἔστιν ὕψος ἢ μῆκος · εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · ἔλαβον τοῦ κύκλου τὴν διάμετρον. τὸ ἐμβαδὸν ποιήσας · ἐφ’ἑαυτὰ τὰ ϛ καὶ τὰ γινόμενα ἐνδεκάκις καὶ τὸ ιδʹ, καὶ γίνονται κη δʹ κηʹ · ταῦτα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὰ ιβ · γίνονται τλθ γ ζʹ. τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

1.13.2ἐπεὶ οὖν οὐχ ὑπόκειταί μοι κυλίνδρου μέτρησιν εὑρεῖν ἐπὶ τοῦ προκειμένου, ἀλλὰ κώνου, ἔλαβον τὸ γʹ τῶν τλθ γ ζʹ · γίνονται ριγ ζʹ. τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου · δέδεικται γὰρ ἐν τῇ στοιχειώσει Εὐκλείδου, ὅτι πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶ κυλίνδρου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴσον.

1.14.1ἔστι κῶνον μετρῆσαι ἀπότε κλιμάτων καὶ τῆς περὶ τὸν κύκλον διαμέτρου οὕτως · τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν κ, τῆς δὲ βάσεως ἡ διάμετρος ποδῶν κδ · εὑρεῖν τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · ἔλαβον τῆς διαμέτρου τὸ Ϛʹ · γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ρμδ. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος κ εφ’ἑαυτά · γίνονται υ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ ρμδ · λοιπὰ σνς. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν · γίνονται ιϛ · τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

1.14.2ἵνα δὲ καὶ τὸ στερεὸν εὕρω, ἐμέτρησα ἀπὸ τῶν κδ τὸν κύκλον · γίνεται τὸ ἐμβαδὸν υνβ Ϛʹ ιδʹ. τούτων λαβὲ τὸ γʹ · γίνεται τοῦ κώνου τὸ στερεὸν μετὰ τοῦ πολυπλασιασμοῦ τῆς καθέτου.

1.15.1κῶνος κόλουρος ὁ καὶ ἀτέλεστος, οὗ ἡ μὲν μείζων διάμετρος ποδῶν ῑ, ἡ δὲ ἥττων ποδῶν δ, τὸ δὲ μῆκος ποδῶν λ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὔτως · σύνθες τὰς δύο διαμέτρους τὰ ῑ καὶ δ · γίνονται ιδ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ζ, ὅ ἐστιν ἡ διάμετρος, ὡς εἶναι τὸ ἐμβαδὸν ἀκολούθως τοῖς προγεγρμμένοις κύκλοις ποδῶν λη Ϛʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ τοῦ μήκους · γίνονται ͵αρνε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ τερεὸν τοῦ κώνου. ἔστω κῶνος κόλουρος, οὗ ἡ διάμετρος ἡ μείζων ποδῶν ῑ, ἡ δὲ ἥττων ποδῶν δ, καὶ τὸ μῆκος ποδῶν λ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · σύνθες τὰς β διαμέτρους τὰ ῑ καὶ τὰ δ · γίνονται ιδ · ὧν Ϛʹ γίνεται ζ, ὅ ἐστι διάμετρος. τοσούτου τὸ ἐμιβαδὸν γίνεται, ποδῶν ληϚʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τοὺς λ τοῦ μήκους · γίνονται πόδες, αρνε. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ κώνου, ποδῶν ͵αρνε.

1.16.1ἄλλως. κῶνον δὲ κόλουρον μετρῆσαι καὶ εὑρεῖν τὸ στερεὸν ἀπότε τῶν διαμέτρων καὶ καθέτου. ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ μείζονος κύκλου ποδῶν ϛ, τοῦ δὲ ἐλάττονος ποδῶν β, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ. ποιῶ οὕτως · τὰ ϛ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται λϛ · καὶ τὰ β ἐφ’ἑαυτά · γίνονται δ · ὁμοῦ μ. καὶ τὰ ϛ ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὰ β · γίνονται ιβ · καὶ ταῦτα προσέθηκα τοῖς μ · γίνονται νβ. ταῦτα τετράκις, τουτέστιν ἐπὶ τὴν κάθετον · γίνονται ση. ποίησον ἐνδεκάκις · γίνονται ͵βσπη. τούτων τό μβʹ · γίνονται νδ καὶ κ μβʹ μβʹ, τουτέστι νδ γʹ ζʹ. τοσούτου ἐστὶν ἄρα τὸ στερεόν.

1.17.1ἔτι μετρήσωμεν κῶνον κόλουρον ἀπότε διαμέτρου καὶ ἀπὸ τῶν κλιμάτων, οὗ ἐστι τῆς κορυφῆς ἡ διάμετρος ποδῶν δ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ιε, ἡ δὲ τῆς βάσεως διάμετρος ποδῶν κη · εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · ὑφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως · λοιπὰ κδ. τούτων τὸ Ϛʹ · γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ρμδ. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ἐφ’ἑαυτά · γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ ρμδ · λοιπὰ πα · ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται θ. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

1.17.2τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως · συνέθηκα κορυφὴν καὶ βάσιν · γίνονται λβ. τούτων τὸ Ϛʹ · γίνονται ιϛ. μετρῶ νῦν κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιϛ · ποιῶ τὴν διάμετρον ἐφ’ἑαυτὴν καὶ τὰ γενόμενα ἐνδεκάκις · ὧν τὸ ιδʹ · καὶ μετὰ τὸ λαβεῖν με τὸ ἐμβαδὸν πάλιν ἀφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως · λοιπὰ κδ. τούτων τὸ Ϛʹ · γίνονται ιβ. ἀπὸ τούτων πάλιν ἐμέτρησα τὸν ἐλάχιστον κύκλον, καὶ ὅταν εὕρω τὸ ἐμβαδόν, τῶν γινομένων λαμβάνω τὸ γʹ · ταῦτα προσθεὶς τῷ τοῦ μείζονος κύκλου ἐμβαδῷ τὰ γενόμενα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὴν κάθετον · καὶ τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

1.18.1aὀβελίσκος ἔχων εἰς τὴν βάσιν κύκλον, οὗ ἡ μὲν διάμετρος ποδῶν μβ, αἱ δὲ πλευραὶ αὐτοῦ ἐγκεκλιμέναι οὖσαι ἀνὰ ποδῶν οε · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως · λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ · γίνονται κα. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται υμα · καὶ μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου γενομένην ἐφ’ἑαυτήν · γίνονται ͵εχκε · ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ μα πρὸς τοῖς υ · λοιπὰ ͵ερπδ · ὧν υμα, ἅτινα ἄφελε ἀεὶ πλευρὰ τετράγωνος · γίνονται οβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

1.18.2aἐὰν δὲ θέλῃς τοῦ αὐτοῦ ὀβελίσκου τὸ στερεὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως · λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἐμβαδὸν κατὰ τὸ προκείμενον ὑπόδειγμα τῶν κύκλων καὶ τὰ γενόμενα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ γʹ τῆς καθέτου. τοσούτων ἔκται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ ὀβελίσκου.

1.18.1bἔστω κῶνος ὁ λεγόμενος ὀβελίσκος καὶ ἐχέτω τὴν βάσιν κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν μβ. τοῦ δὲ κώνου αἰ πλευραὶ αἱ ἐγκεκλιμέναι ἔστωσαν ἀπὸ ποδῶν οε · τούτου τὴν κάθετον εὑρήσομεν οὕτως · λαμβάνω τοὺς οε πόδας τῆς πλευρᾶς ἐφ’ἑαυτούς · γίνονται ͵εχκε καὶ τῆς βω σεως τὸ Ϛʹ · γίνονται κα. ταῦτα ποίει ἐφ’ἑαυτά · γίνονται υμα, ἅτινα ἄφελε ἀπὸ τῶν ͵εχκε · λοιπὸν μένει, ερπδ · ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ τραγωνικὴ γίνεται ποδῶν οβ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος τοῦ κώνου, ποδῶν οβ.

1.18.2bεὑρεῖν καὶ τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ͵ατπϛ. ταῦτα ἐπὶ τὸ γʹ τῆς καθέτου, ἐπὶ τὰ κδ · γίνονται πόδες γ γσξδ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

1.18.3bεὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. τῆς βάσεως τὸ Ϛʹ · γίνονται κα. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ οβ γίνονται ͵αφιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ · γίνονται γ ͵γσξδ. τούτων τὸ ζʹ · γίνονται, δψνβ. τοσούτων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου. κύλινδρον μετρήσομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν ν, ἡ δὲ διάμετρος ποδῶν ζ, καὶ ἡ περιφέρεια ποδῶν κβ. εὕρομεν ἀπὸ τῆς περιφερείας ὡς καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λη Ϛʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ μῆκος τῶν ν · γίνονται πόδες ͵αϡκε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

1.19.1κύλινδρος, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ν, ἡ δὲ περιφέρεια ποδῶν κβ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · λαβὲ ἀπὸ τῆς περιφερείας ὡς καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων τὸ ἐμβαδόν · γί νονται λη Ϛʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ν · γίνονται ͵αϡκε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

1.20.1κύλινδρον μέτρει οὕτως, οὗ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν ϛ, ὁ δὲ ἄξων, τουτέστι τὸ μῆκος, ποδῶν ιβ · εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · ἐμέτρησα κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ϛ, καθὼς πρόκειται · γίνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ποδῶν κη δʹ κηʹ. ταῦτα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὸν ἄξονα · γίνονται πόδες τλθ καὶ γ ζʹ ζʹ. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

1.20.2τὴν δὲ ἐπιφάνειαν αὐτοῦ εὑρήσεις οὕτως · ποίησον τὴν διάμετρον τρὶς καὶ ζʹ, ἐπειδὴ τῆς διαμέτρου ἡ περίμετρος τριπλάσιός ἐστιν καὶ ἐφέβδομος, καὶ προσάγαγε τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ἄξονα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ιβ τοῦ ὕψους · καὶ τοσούτου ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου.

1.21.1κίων, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κα · λαμβάνω τούτου τὸ ζʹ καὶ τὸ ηʹ, ἐπειδὴ ἡ ἔδρα τοῦ κίονος κατὰ διάμετρόν ἐστιν τὸ ζʹ καὶ ἡ ἔφεδρος τὸ ηʹ. μίξας τὰς δύο διαμέτρους κράτει τὸ Ϛʹ · γίνονται β Ϛʹ δʹ ιϛʹ. ἀπὸ τούτων ποίει κύκλου τὸ ἐμβαδόν · γίνονται πόδες ζ ιεʹ (G2 )γʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος · γίνονται πόδες ρμζ Ϛʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κίονος.

1.21.2εἰ δὲ θέλεις τὴν ἐπιφάνειαν μετρῆσαι, λαβὲ ἔδρας καὶ ἐφέδρας τοὺς κύκλους καὶ μίξας ἆρον τὸ Ϛʹ · ἐπὶ ταῦτα τὸ μῆκος · καὶ τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια ἔσται τοῦ κίονος.

1.21.3τοῦ κίονος ἔκθεσις τοῦ αὐτοῦ Πατρικίου διόρθωσις · οἱ γὰρ ἀρχαῖοι τὰς δύο διαμέτρους οὐκ ἔμιξαν.

1.22.1κύβον μετρῆσαι, τουτέστι σχῆμα στερεὸν περιεχόμενον ὑπὸ τριῶν διαστάσεων, μήκους, πλάτους, ὕψους ἀκολούθως ἢ βάθους · καὶ πῶς; ἐπὶ μὲν τῶν σχημάτων ὕψος, ἐπὶ δὲ τῶν ὀρυγμάτων βάθος. ἔστω οὖν κύβος μῆκος πηχῶν η, πλάτος πηχῶν η καὶ ὕψος πηχῶν η · εὑρεῖν, πόσωον τὸ στερεὸν πηχῶν γίνεται ὁ κύβος. ποιῶ τοὺς η τοῦ μήκους ἐπὶ τοὺς ὀκτὼ τοῦ πλάτους · γίνονται ξδ · τούτους ἐπὶ τοὺς η τοῦ ὕψους · γίνονται φιβ. ἔσται ὁ κύβος πηχῶν φιβ.

1.23.1κύβος τετράγωνος ἰσόπλευρος, οὗ ἡ μὲν βάσις ποδῶν ῑ, τὸ μῆκος ποδῶν ῑ, τὸ ὕψος ποδῶν ῑ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · τὰ ῑ τῆς βάσεως ἑξηκοντάκις · γίνονται χ · καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ῑ τοῦ μήκους · γίνονται ͵ϛ · καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ῑ τοῦ ὕψους · γίνονται ϛ · ὧν τὸ ξʹ · γίνονται ͵α. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κύβου.

1.24.1κύβος παραλληλόγραμμος, οὗ ἡ παράλληλος ποδῶν κ, ἡ δὲ ἐπιζευγνύουσα ποδῶν ῑ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν λ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · τὰ κ τῆς παραλλήλου ἐπὶ τὰ ῑ · γίνονται ς, ὅπερ ἐστὶν ἐμβαδόν. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ τοῦ ὕρψους · γίνονται ͵ϛ · τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κύβου.

1.25.1σφηνίσκος, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος τὸ μεῖζον ποδῶν ζ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν ε, τὸ δὲ πάχος τὸ μεῖζον ποδῶν ϛ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν δ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · σύνθες τὰ β πλάτη, τουτέστι τὰ ζ καὶ τὰ ε · γίνονται ιβ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ϛ. ὁμοίως καὶ τὰ δύο πάχη, τουτέστι τὰ ϛ καὶ τὰ δ · γίνονται ῑ · ὧν καὶ αὐτῶν τὸ Ϛʹ · γίνονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ · γίνονται λ · καὶ ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ κλ · γίνονται ψν. τοσούτων ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ σφηωίσκου. σφῆνα μετρῆσαι, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος τὸ μεῖζον ποδῶν ζ, τὸ δὲ μικρότερον ποδῶν ε, πάχος τὸ μεῖζον ποδῶν ϛ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν δ ερεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως · σύνθες τὰ β πλάτη τὰ ζ καὶ τὰ ε · γίνονται ιβ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ϛ. ὁμοίως καὶ τὰ β πάχη τὰ ϛ καὶ τὰ δγίνονται ῑ · ὧν Ϛʹ γίνονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ · γίνονται πόδες λ · καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ κε τοῦ μήκους · γίνονται πόδες ψν. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ σφηνός, ποδῶν ψν.

1.26.1ἄλλως. ἔστω σφηνίσκος, ὃς καλεῖται ὑπό τινων ὄνυξ, ἔχων τὸ μὲν ἀπὸ κεφαλῆς δακτύλων ἕξ, τὸ δὲ ἄλλο δακτύλων ῑ, τὸ πάχος δακτύλων η · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · συντιθῶ τὰ β πλάτη · γίνονται ιϛ · ἐπὶ τὸ πάχος · γίνονται ραη. ἐπὶ τὸ μῆκος ταῦτα τῶν η · γίνονται ͵ακδ. τούτων τὸ δʹ · γίνονται σνς · τοσούτων χυδαίων δακτύλων. ταῦτα μερίζω ὡς τὸ τετράγωνον.

1.27.1ἄλλως. ἔστω ὄνυξ ἔχων τὸ μὲν μῆκος δακτύλων ῑ, πλάτος δακτύλων ϛ, πάχος δακτύλων ε · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · πολυπλασιάζω τὸ πλάτος καὶ τὸ πάχος · γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος · γίνονται τ. τούτων λαμβάνω τὸ Ϛʹ · γίνονται ρν. ταῦτα μερίζω ὡς τὸ τετράγωνον · γίνονται στερεοὶ δάκτυλοι ιβ δʹ.

1.28.1μείουρον τὸ προεσκαριφευμένον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν λ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ϛ, τὸ δὲ πάχος ποδῶν δ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · τὰ ϛ ἐπὶ τὰ δ · γίνονται κδ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ · γίνονται τξ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεόν. σφῆνα μείουρον μετρήσομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν λ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ϛ καὶ τὸ πάχος ποδῶν δ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως · τὰ ϛ ἐπὶ τὰ δ · γίνονται πόδες κδ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ · γίνονται πόδες τξ. τοσούτων ποδῶν ἔσται. τὸ στερεὸν τοῦ σφηνός, τξ.

1.29.1τὸ δὲ πλινθίον συνέστηκεν ἐκ τῶνδε τῶν ἀριθμῶν ϛ, η, θ, ιβ, ὁ μὲν η πρὸς ϛ ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, καθ’ἣν ἡ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἁρμονία, ὁ δὲ θ πρὸς τὸν ϛ […] ἐν διπλασίῳ, καθ’ἣν ἡ διὰ πασῶν ·G? ἕξεων ἐλέγχει καὶ τὰς ἀναλογίας πάσας · ἀριθμητικὴ μέν ἐστιν ἐν ϛ καὶ θ καὶ ιβ · οἷς γὰρ ὑπερέχει ὁ μέσος τοῦ πρώτου τρισίν, ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ τελευταίου · γεωμετρικὴ δὲ ἡ τῶν τεσσάρων · ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ η πρὸς τὰ ϛ, τοῦτον τὰ ιβ πρὸς τὰ θ, ὁ δὲ λόγος ἐπίτριτος. ἁρμονικῆς ἀναλογίας διττὴ κρίσις, μία μέν, ὅταν, ὃν λόγον ἔχει ὁ ἔσχατος πρὸς τὸν πρῶτον, τοῦτον ἔχῃ ἡ […] ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ τελευταίου […].

1.30.1πυραμὶς ἐπὶ τετραγώνου βεβηκυῖα, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν κδ, τὸ δὲ κλίμα ἀνὰ ποδῶν ιη · εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · τὰ κδ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται φοϛ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται σπη. τὰ ιη ἐφ’ἑαυτά · γίνονται τκδ · ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ σπη · λοιπὰ λϛ · ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ϛ. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ κάθετος. λαβὲ τοίνυν τῆς καθέτου τὸ γʹ · γίνονται β. ταῦτα ἐπὶ τὰ φοϛ · γίνονται ͵αρνβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος. πυραμίδα ἐπὶ τετραγώνου βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν κδ καὶ τὸ κλίμα τῆς πυραμίδος ποδῶν ιη · εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · τὰ κδ τῆς βάσεως ἐφ’ἑαυτά · γίνονται πόδες φοϛ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται πόδες σπη. καὶ τὰ ιη τοῦ κλίματος ποιῶ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται πόδες τκδ. ἄρτι ὑφαιρῶ ἀπὸ τούτων τὰ σπη · λοιπὸν μένουσι πόδες λϛ · ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ϛ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος τῆς πυραμίδος. ἐπειδὴ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν ϛ, εὕρωμεν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · τὸ γʹ τῆς καθέτου · γίνονται πόδες β. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ φοϛ · γίνονται πόδες αρνβ. τοσούτου ἐστὶ τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν ͵αρνβ.

1.31.1ἄλλως. ἔστω πυραμὶς τετράγωνος, ἧς τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιη, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιϛ · δεῖ δὲ ταύτης τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεὸν εὑρεῖν. ποιῶ οὕτως · πολυπλασιάζω μίαν πλευρὰν ἐφ’ἑαυτήν · γίνονται πόδες σνϛ. ταῦτα δίπλασον · γίνονται φιβ. τούτων λαβὲ τὸ δʹ · γίνονται ρκη. καὶ πολυπλασίασον τὰ κλίματα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται πόδες τκδ. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ ρκη · λοιπὰ ρϚ · ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιδ.

1.31.2τοσούτων γίνεται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως · ἐπολυπλασίασα πάλιν τὰ ἀπὸ τῆς βάσεως τὰ ιϛ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται πόδες σνς. τούτων τὸ γʹ · γίνονται πόδες πε γʹ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον · γίνονται Ϛαρε. τοσούτου ἔσται καὶ τὸ στερεὸν τῆς αὐτῆς πυραμίδος.

1.32a.1πυραμὶς κόλουρος τεθραυσμένη τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ῑ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν θ, αἱ δὲ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν β. εὑρεῖν αὐτῆς τὸρεόν. στεποίει οὕτως · ὕφειλε τὰ β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν τὰ τῆς βάσεως · λοιπὰ η. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ξδ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται λβ. καὶ τὰ θ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται πα. ἀπὸ τούτων ὕφειλε τὰ λβ · λοιπὰ μθ · ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ζ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

1.32a.2καὶ σύνθες τὰ β τῆς κορυφῆς καὶ τὰ ι τῆς βά σεως · γίνονται ιβ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται λϛ. εἶτα ὕφειλε τὰ δύο τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ῑ · λοιπὰ η · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται δ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ιϛ · ὧν τὸ γʹ ε γʹ. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϛ · γίνονται μα γʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ τῆς καθέτου · γίνονται σπθ γʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

1.32b.1πυραμὶς κόλουρος τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν ῑ καὶ αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀπὸ ποδῶν β, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν θ · εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · ὑφεῖλον β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ῑ ποδῶν τῆς βάσεως · λοιπὸν μένουσι πόδες η. ταῦτα ποιεῖ ἐφ’ἑαυτὰ πόδας ξδ · ὧν Ϛʹ γίνονται πόδες λβ. καὶ τὰ θ τοῦ κλίματος ἐφ’ἑαυτά · γίνονται πόδες πα. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ λβ · λοιπὸν μένουσι πόδες μθ · ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ζ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος.

1.32b.2ἐπεὶ οὖν ἐστιν ἡ κάθετος ποδῶν ζ, εὕρωμεν τὸ στερεὸν οὕτως · σύνθες τοὺς β πόδας τῆς κορυφῆς καὶ τοὺς ῑ πόδας τῆς βάσεως · ὁμοῦ γίνονται πόδες ιβ · ὧν Ϛʹ γίνονται ϛ. ταῦτα ποίει ἐφ’ἑαυτά · γίνονται πόδες λϛ. πάλιν ὑφεῖλον ἀπὸ τῶν ῑ ποδῶν τῆς κορυφῆς τοὺς β πόδας · λοιπὸν μένουσιν η πόδες · ὧν Ϛʹ γίνονται δ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται πόδες ιϛ · ὧν γʹ γίνονται πόδες ε γʹ. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϛ · γίνονται ὁμοῦ πόδες μα γʹ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τοὺς ζ πόδας τῆς καθέτου · γίνονται πόδες σπθ γʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

1.33.1ἄλλως. πυραμὶς τεθραυσμένη εἴτουν κόλουρος ἔστω ἐπὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν δ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιε, α δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν κη · εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως · λοιπὰ κδ. τούτων τὸ Ϛʹ · γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ρμδ. καὶ πάλιν πολυπλασίασον τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ἐφ’ἑαυτά · γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ ρμδ · λοιπὰ πα. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος τοῦ τετραπεδίου δυνάμει.

1.33.2καὶ πάλιν ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως · λοιπὰ κδ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ρμδ. καὶ ἄφελε τὴν τοῦ τετραπεδίου κάθετον τὰ πα ἀπὸ τῶν ρμδ · λοιπὰ ξγ. τούτων τετραγωνικὴ πλευρὰ γίνεται η παρὰ ιϛʹ.

1.33.3τοσούτων ἔσται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως · σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν · γίνονται λβ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ιϛ · ἐφ’ἑαυτὰ γίνονται σνϛ. πάλιν ἀφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως · λοιπὰ κδ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ιβ · ἐφ’ἑαυτὰ γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γʹ · γίνονται μη. ταῦτα προσάγαγε τοῖς σνϛ · γίνονται τδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον · γίνονται βυιγ. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

1.34.1ἔστω πυραμὶς ἑτερομήκης ὁμοίως καὶ κόλουρος εἴτουν ἡμιτελής, ἧς αἱ μὲν β πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιδ, αἱ δὲ ἄλλαι ἀνὰ ποδῶν κ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν κϛ καὶ ἡ κορυφὴ ἡ μὲν κατὰ μῆκος ποδῶν δ, ἡ δὲ κατὰ πλάτος ποδῶν β · εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως παράλληλον ἀπὸ παραλλήλου τὰ β ἀπὸ τῶν ιδ · λοιπὰ ιβ ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ρμδ · ὧν Ϛʹ γίνονται οβ. καὶ ὁμοίως τὰ δ ἀπὸ τῶν κ · λοιπὰ ιϛ · ἐφ’ἑαυτὰ γίνονται σνϛ ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ρκη. καὶ τὰ οβ · γίνονται ς. τούτων ἄφελε τὸ Ϛʹ · γίνονται ρ. πολυπλασίασον τὰ κλίματα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται χοϛ ἀφ’ὧν ὕφειλε τὰ ρ · λοιπὰ φοϛ. τούτων λαβὲ τετραγωνικὴν πλευράν · γίνονται κδ. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

1.34.2σύνθες οὖν τὰς παραλλήλους βάσεις τὰ δ καὶ τὰ κ · γίνονται κδ · ὧν τὸ Ϛʹ γίνονται ιβ. πάλιν σύνθες τὰ β καὶ τὰ ιδ · γίνονται ιϛ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται η. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ · γίνονται Ϛ. ἄφελε νῦν κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ δ ἀπὸ τῶν κ · λοιπὰ ιϛ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται η. ὁμοίως καὶ τὰ β ἀπὸ τῶν ιδ · λοιπὰ ιβ · ὧν Ϛʹ γίνονται ϛ. ταῦτα ἐπὶ τὰ η · γίνονται μη. καθόλου λάμβανε τὸ γʹ · γίνονται ιϛ. ταῦτα προσάγαγε τοῖς Ϛ · γίνονται ριβ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κδ · γίνονται βχπη. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τῆς ἑτερομήκους πυραμίδος.

1.35.1aπυραμὶς ἐπὶ ἰσοπλεύρου βεβηκυῖα, ἧς ἑκάστη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν λ, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν κ · εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · τὰ λ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται Ϡ · ὧν τὸ γʹ τ. καὶ τὰ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται υ · ἐξ ὧν ὑφεῖλον τὰ τ · λοιπὰ ρ · ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ῑ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

1.35.2aποίει οὕτως νῦν · τὰ λ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται Ϡ · ὧν τὸ γʹ καὶ τὸ ιʹ · γίνονται τϚ · ὧν τὸ γʹ · γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ῑ τῆς καθέτου · γίνονται ͵ατ. τοσούτῶν ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς τριγώνου πυραμίδος.

1.35.1bπυραμίδα ἐπὶ ἰσοπλεύτριγώνου ρου τριγώνου βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως, ἧς ἑκάστη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν λ καὶ τὸ κλίμα ποδῶν κ · εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον. ποιῶ οὕτως · τὰ λ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται Ϡ ὧν γʹ γίνονται τ. καὶ τὰ κ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται υ. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ τ · λοιπὸν μένουσι πόδες ρ · ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ῑ. τοσούτων ποδῶν ἐστιν ἡ κάθετος, ποδῶν ῑ.

1.35.2bἐπεὶ οὖν ἐστιν ἡ κάθετος ποδῶν ῑ, εὑρήσομεν τὸ ἐμβαδὸν οὕτως · λαβὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως · τὰ λ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται Ϡ · ὧν γʹ καὶ ιʹ γίνονται πόδες τϚ. τούτων τὸ γʹ · γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι · γίνονται ͵ατ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν ͵ατ.

1.36.1ἄλλως. ἔστω πυραμὶς ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου, ἧς τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ, αἱ δὲ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ιβ · δεῖ δὲ αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεὸν εὑρεῖν. ποιῶ οὕτως · τὰ ιβ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γʹ · γίνονται μη. τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ιγ ἐφ’ἑαυτὰ ρξθ. ἀπὸ τούτων ὕφειλε τὰ μη · λοιπὰ ρκα · τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ια. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

1.36.2τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως · ἐμέτρησα ἀπὸ τῶν τῆς βάσεως ιβ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου · ἔστι δὲ τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ξβ γʹ λʹ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον · γίνονται χπϛ λʹ. τούτων τὸ γʹ · γίνονται σκη Ϛʹ ϛʹʹ. τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

1.37.1ἄλλως. πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν ϛ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν η, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ῑ, αἱ δὲ πλευραὶ τῆς πυραμίδος ἀνὰ ποδῶν ιγ · εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον. ποίει οὕτως · πρῶτον λαβὲ τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου τοῦ περιγράφοντος τὸ τρίγωνον · γίνονται ῑ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ε. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ἄε. καὶ τὰ ιγ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ρξθ · ἐξ ὧν κούφισον τὰ κε · λοιπὰ ρμδ · ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

1.37.2ἐὰν δὲ θέλῃς τὸ στερεὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως · πρῶτον ζήτει τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν · γίνονται κδ · καὶ λαβὲ τῆς καθέτου τὸ γʹ · γίνονται δ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κδ · γίνονται Ϛ. τοσούτων ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

1.38.1ἔστω πυραμὶς τρίγωνος ἰσόπλευρος τεθραυσμένη εἴτουν κόλουρος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν β, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιδ · εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως · λοιπὰ ιβ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γʹ · γίνονται μη. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ιγ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ρξθ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ μη · λοιπὰ ρκα · ὧν τετραγωνικὴ πλευρὰ γίνεται ια. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

1.38.2τὸ στερεὸν μετρήσωμεν οὕτως · συνέθηκα κορυφὴν καὶ βάσιν · γίνονται κϛ · ὧν τὸ Ϛʹ ·γίνονται ιγ. ἐμέτρησα ἀπὸ τούτων τρίγωνον ἰσόπλευρον · γίνεται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ογ Ϛʹ γʹ ιεʹ. ταῦτα ἐξεθέμην. καὶ πάλιν κορυφὴν ἄφελε ἀπὸ τῆς βάσεως · λοιπὰ ιβ · ὧν Ϛʹγίνονται ϛ. ἐμέτρησα ἀπὸ τούτων ἐλάχιστον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ γίνεται τὸ ἐμβαδὸν ξβ γʹ ιεʹ. τούτων τὸ γʹ · γίνονται κ Ϛʹ δʹ κʹ. ταῦτα προσάγαγε τοῖς πρότερον ἐκτεθεῖσιν ογ Ϛʹ γʹ ιεʹ · γίνονται δ Ϛʹ εʹ ὡς ἔγγιστα. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον · καὶ τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν ἤγουν ͵αμα Ϛʹ εʹ.

1.39.1aπάλιν ἔστω πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τετράγωνον, ἧς ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ῑ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ Ϛʹ εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως · λαβὲ τοῦ τετραγώνου πλευρὰν γενομένην ἐφ’ἑαυτήν · γίνονται ρ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ν. καὶ τὰ ιγ Ϛʹ τῆς πλευρᾶς ἐφ’ἑαυτά, λέγω δὴ τοῦ κλίματος · γίνονται ρπβ δʹ ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ ν · λοιπὰ ρλβ δʹ · ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ια Ϛʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

1.39.2aἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὸ στερεὸν αὐτῆς εὑρεῖν, λαβὲ τοῦ τετραγώνου τὸ ἐμβαδόν · γίνονται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὸ γʹ τῆς καθέτου, τουτέστιν ἐπὶ τὰ γ Ϛʹ γʹ · γίνονται τπγ γʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

1.39.1bἔστω πυραμὶς βάσιν ἔχουσα τετράγωνον, καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ῑ, ἡ δὲ πυραμὶς ἐχέτω τὰς πλευρὰς ἀνακεκλιμένας ἀπὸ ποδῶν ιγ Ϛʹ · εὑρεῖν τῆς πυραμίδος τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως · πολυπλασιάζω τοῦ τετραγώνου τὴν πλευρὰν ἐφ’ἑαυτήν · γίνονται ρ. τούτων τὸ Ϛʹ · γίνονται ν. καὶ τὰ ιγ Ϛʹ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται πόδες ρπβ δʹ. αἴρω ἀπὸ τούτων τὰ ν · λοιπὸν μένουσι πόδες ρλβ δʹ ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ια Ϛʹ.

1.39.2bτὸ δὲ στερεὸν εὑρίσκεται οὕτως · τοῦ τετραγώνο τὸ ἐμβαδὸν γίνεται ποδῶν ρ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ γʹ μέρος τῆς καθέτου · γίνονται πόδες τπγ γʹ. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν τπγ γʹ.

1.40.1κογχίων μετρήσεις διάφοροι. κόγχη, ἧς ἡ βάσις μὲν ποδῶν η, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ, καὶ ἡ ἔσω ἕλκουσα ποδῶν δ · εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. μέτρει κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν η · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως · τὰ η τῆς διαμέτρου ἐφ’ἑαυτά γίνονται ξδ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ · γίνονται ψδ · ὧν τὸ ιδʹ · γίνονται δʹ κηʹ. τοσούτου γίνεται τῆς κόγχης ἡ ἐπιφάνεια. κύκλος δὲ μετρεῖται, ὅταν ἡ κάθετος καὶ ἡ ἔσω ἕλκουσα ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ δύο ποιῶσι διάμετρον μίαν ἴσην ἑαυταῖς.

1.41.1ἄλλως. κόγχη μετρηθήσεται τὸν τρόπον τοῦτον · ἔστω τῆς κόγχης ἡ μὲν βάσις ποδῶν ιβ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ, ἡ δὲ ἔσω ἕλκουσα ποδῶν γ. ποίει οὕτως · λαβὲ τῶν ιβ τὸ Ϛʹ · γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται λϛ. καὶ τὰ δ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ιϛ. ταῦτα προσάγαγε τοῖς λς · γίνονται νβ. καὶ προσάγαγε αὐτοῖς τὸ ἴδιον Ϛʹ · γίνονται οη. καὶ τὰ γ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται θ. προσάγαγε τοῖς οη · γίνονται πζ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὴν ἔσω ὑποτείνουσαν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ γ · γίνονται σξα · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται ρλ Ϛʹ. ταῦτα ἑνδεκάκις · γίνονται ͵αυλε · ὧν τὸ καʹ · γίνονται ξη γʹ. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν σὺν τῷ κενώματι.

1.41.2ἀφ’ὧν χρὴ ἆ ραι τὸ κένωμα ὁμοίως μετρήσαντας. ἐχέτω γὰρ ἡ κόγχη τὸ πλάτος τῆς βάσεως τοῦ οἰκοδομήματος ποδῶν β · λοιπὸν ἡ βάσις τοῦ ἐσωφώτου εἴτουν τοῦ κενώματος ποδῶν ῑ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ποδῶν γ, ἡ δὲ ἔσω τείνουσα ποδῶν β.

1.41.3γίνεται οὖν τοῦ κενώματος ὁμοίως μετρουμένου κατὰ τὰ προλεχθέντα τῶν ῑ τῆς διαμέτρου τὸ Ϛʹ ε. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίνονται κε. καὶ τὰ γ ἐφ’ἑαυτά · γίνονται θ ὁμοῦ γίνονται λδ · οἷς προσάγαγε τὸ ἴδιον ἥμισυ · γίνονται να. καὶ τὰ β ἐφ’ἑαυτά · γίνονται δ. προσάγαγε τοῖς να · γίνονται νε. ταῦτα ἑνδεκάκις · γίνονται χε · ὧν τὸ καʹ · γίνονται κη καὶ ιζ καʹ καʹ. τοσούτου τὸ στερεὸν τοῦ κενώματος. ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ξη γʹ · λοιπὰ λθ γʹ ζʹ καʹ. τοσούτου καταλείπεται τὸ στερεὸν τῆς οἰκοδομῆς, τῆς κόγχης δηλονότι.

1.41.4τμήματος σφαίρας, τουτέστιν ἰσαρίθμου, πάντα ποίησον δι’ἀλλήλων, καὶ τῶν γενομένων καθόλου τὸ Ϛʹ καὶ τὸ μβʹ, ἐπειδήπερ πάσης σφαίρας τοῦ κυβισθέντος τῆς διαμέτρου μέρος Ϛʹ καὶ μβʹ ἴσον ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ.

1.42.1θέατρον, οὗ ἡ μὲν μείζων περιφέρεια ποδῶν υκ, ἡ δὲ ἐλάττων ποδῶν ρπ, αἱ δὲ βαθμίδες εἰσὶ τῷ ἀριθμῷ σπ · εὑρεῖν, πόσους ἄνδρας χωρεῖ. ποίει οὕτως · σύνθες τὴν μείζονα καὶ τὴν ἐλάττονα, τουτέστι τὰ υκ καὶ τὰ ρπ · γίνονται χ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται τ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰς βαθμίδας · γίνονται η ͵δ. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ · ἕκαστος γὰρ ποὺς ἕνα ἄνδρα χωρεῖ. μαθεῖν θέατρον, πόσους χωρεῖ ἄνδρας, οὕτως · μετρηθὲν τὸ ἀνώτερον βάθρον ἔσχεν πόδας υκ, καὶ τὸ κατώτερον ἔσχεν πόδας ρπ · ὁμοῦ γίνονται χ πόδες · ὧν τὸ Ϛʹ γίνονται τ. τὰ δὲ βάθρα ἐστὶν ἀριθμῷ ν. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ τ · γίνονται πόδες α ͵ε. τοσούτους ἄνδρας χωρήσει · ἑκάστου γὰρ ἀνδρὸς ὁ τόπος ποδὸς ᾱ ἐστι τοῦ πλάτους.

1.43.1aἄλλο θέατρον, οὗ εἰσιν αἱ βαθμίδες, εἰ τύχοι, σν, λαμβάνει δὲ ὁ πρῶτος βαθμὸς ὁ κάτω ἄνδρας μ, ὁ δὲ ἄνω ρκ · εὑρεῖν, πόσους ἄνδρας χωρεῖ. ποίει οὕτως · σύνθες τὸν ἀριθμὸν τῶν ἀνδρῶν τοῦ κάτω βαθμοῦ καὶ τοῦ ἄνω · γίνονται ρξ · ὧν τὸ Ϛʹ · γίνονται π. ταῦτα ἐπὶ τοὺς σν βαθμούς · γίνονται β. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ τὸ θέατρον.

1.43.2aἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ πρώτου βαθμοῦ ἕως τοῦ ὑστέρου εἰς τὸ ὕστερον λαμβάνει πλείους ἄνδρας ε, θέλεις δὲ γνῶναι, ὁ ὕστερος βαθμός, τουτέστιν ὁ ἀνώτερος, πόσους ἄνδρας χωρεῖ λαμβάνοντος τοῦ πρώτου βαθμοῦ, τουτέστι τοῦ κατωτέρου, ἄνδρας μ, ἔχοντος τοῦ θεάτρου βαθμοὺς σν, ποίει οὕτως · ὕφειλε ἀπὸ τῶν βαθμῶν ᾱ · λοιπὰ σμθ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε · γίνονται, ασμε. καὶ πρόσθες τοὺς μ τοὺς τοῦ πρώτου βαθμοῦ · γίνονται ασπε. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ ὁ ὕστερος βαθμὸς ὁ ἄνωθεν.

1.43.2bἐὰν δὲ εἴπῃ τις, ὅτι ἕκαστος βαθμὸς ἐκ τοῦ ὑστέρου βαθμοῦ λαμβάνει πλέον τοῦ ἑτέρου ἄνδρας ἀριθμὸν ε, ἔχει δὲ βαθμοὺς ἀριθμῷ ν, μ δὲ λαμβάνει ὁ ὕστερος βαθμός · ὁ πρῶτος βαθμὸς πόσους χωρεῖ; ποιῶ οὕτως · αἴρω ἀπὸ τῶν ν μονάδα ᾱ · λοιπὸν μένουσι ἄρα σμε. πρόσθες τούτοις τὰ μ τοῦ ὑστέρου βαθμοῦ · γίνονται σπε. τοσούτους χωρήσει ἄνδρας ὁ αʹ βαθμός.

1.44.1ἀμφιθέατρον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν σμ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ξ · εὑρεῖν αὐτοῦ · τὴν περίμετρον. ποίει οὕτως · τὰ σμ τοῦ μήκους ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ε ͵ζχ · καὶ τὰ ξ τοῦ πλάτους ἐφ’ἑαυτά · γίνονται ͵γχ · καὶ τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος · γίνονται α ͵δυ. καὶ σύνθες τοὺς τρεῖς ἀριθμούς · γίνονται ζ εχ. τούτων ἀεὶ λάμβανε πλευρὰν τετραγωνικήν · γίνονται σοε. ταῦτα δὲ δίς · γίνονται φν. τοσούτου ἔσται ἡ περίμετρος. ἔστω ἀμφιθέατρον καὶ ἐχέτω τὸ μὲν μῆκος ποδῶν σμ, τὸ δὲ πλάτος ξ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως · πολυπλασιάζω τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος · γίνονται πόδες α ͵δυ. ταῦτα ἀεὶ πολυπλασιάζω ια · γίνονται πόδες ιε ͵ηυ. τούτων μερίζω τὸ ιδʹ · γίνονται πόδες α ͵ατιδ δʹ κηʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ ἐμβαδόν. τὴν δὲ περίμετρον εὑρήσομεν οὕτως · πολυπλασιάζω τὸ μῆκος τὰ σμ ἐκ διπλοῦ · γίνονται πόδες ῡπ. προστιθῶ νῦν τὸ πλάτος τοὺς ξ πόδας καὶ τὸ ἕκτον μέρος τοῦ πλάτους · γίνονται ῑ · ὁμοῦ γίνονται πόδες ο. ταῦτα προστιθῶ τοῖς ῡπ ποσὶ τοῦ διπλοῦ μήκους · γίνονται πόδες φν. τοσούτων ποδῶν ἐστιν ἡ περίμετρος τοῦ ἀμφιθεάτρου.

1.45.1τρίκλινος, οὗ τὸ μὲν πλάτος ποδῶν κϛ Ϛʹ, τὸ δὲ μῆκος ποδῶν λᾱ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν λη, διὰ τοίχου β δʹ. τὸ ἐν τοίχῳ ἐπὶ τὰ λᾱ · γίνονται ξθ Ϛʹ δʹ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λη τοῦ ὕψους · γίνονται ͵βχν Ϛʹ. ταῦτα τετράκις, ἐπειδὴ τέσσαρές εἰσι τοῖχοι · γίνονται α χβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τοῦ τρικλίνου τὰ ἐν τοίχῳ.