Metrics, 3

οὐ πολὺ ἀπᾴδειν νομίζομεν τὰς τῶν χωρίων διαιρέσεις τῶν γιγνομένων ἐν τοῖς χωρίοις μετρήσεων · καὶ γὰρ τὸ ἀπονεῖμαι χωρίον τοῖς ἴσοις ἴσον καὶ τὸ πλέον τοῖς ἀξίοις κατὰ τὴν ἀναλογίαν πάνυ εὔχρηστον καὶ ἀναγκαῖον θεωρεῖται. ἤδη γοῦν καὶ ἡ σύμπασα γῆ διῄρηται κατ’ἀξίαν ὑπ’αὐτῆς τῆς φύσεως · νέμεται γὰρ κατ’αὐτὴν ἔθνη μέγιστα μεγάλην λελογχότα χώραν, ἔνια δὲ καὶ ὀλίγην μικρὰ καθ’αὑτὰ ὑπάρχοντα · οὐχ ἧττον δὲ καὶ κατὰ μίαν αἱ πόλεις κατ’ἀξίαν διῄρηνται · τοῖς μὲν ἡγεμόσι καὶ τοῖς ἄλλοις τοῖς ἄρχειν δυναμένοις μείζω καὶ κατὰ ἀναλογίαν, τοῖς δὲ μηδὲν τοιοῦτο δυναμένοις δρᾶν μικροὶ κατελείφθησαν τόποι, κῶμαίτε τοῖς μικροψυχοτέροις καὶ ἐποίκια καὶ ὅσα τοιαῦτά ἐστιν · ἀλλὰ τὰ μὲν παχυμερεστέραν πως καὶ ἀργοτέραν εἴληφε τὴν ἀναλογίαν · εἰ δέ τις βούλοιτο κατὰ τὸν δοθέντα λόγον διαιρεῖν τὰ χωρία, ὥστε μη δὲ ὡς εἰπεῖν κέγχρον μίαν τῆς ἀναλογίας ὑπερβάλλειν ἢ ἐλλείπειν τοῦ δοθέντος λόγου, μόνης προσδεήσεται γεωμετρίας · ἐν ἐφαρμογὴ μὲν ἴση, τῇ δὲ ἀναλογίᾳ δικαιοσύνη, ἡ δὲ περὶ τούτων ἀπόδειξις ἀναμφισβήτητος, ὅπερ τῶν ἄλλων τεχνῶν ἢ ἐπιστημῶν οὐδεμία ὑπισχνεῖται.

α. χωρίον τρίγωνον διελεῖν εἰς τρίγωνα χωρία ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ τὴν αὐτὴν ἔχοντα κορυφήν. ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε · καὶ δέον ἔστω διελεῖν αὐτὸ εἰς δύο χωρία τρίγωνα λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα, ὃν ε πρὸς γ, κορυφὴν δὲ τὸ Α. γεγονέτω καὶ ἔστω ἡ διαιροῦσα εὐθεῖα ἡ Α𐅵 · λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ𐅵 τριγώνου πρὸς τὸ Α𐅵Γ τρίγωνον, ὃν ε πρὸς γ · καὶ συνθέντιλόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ Α𐅵Γ τρίγωνον, ὃν η πρὸς γ. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ · ἡ ἄρα Γ𐅵 ἔσται μονάδων ε δʹ. λοιπὴ ἄρα ἡ Β𐅵 μονάδων ηϚδʹ. κἂν ἐπιζεύξωμεν τὴν Α𐅵, ἔσται γεγονὸς τὸ προκείμενον · τὸ μὲν γὰρ τοῦ ΑΒ𐅵 τριγώνου ἐμβαδὸν εὑρήσομεν μονάδων νβϚ, τὸ δὲ τοῦ Α𐅵Γ τριγώνου μονάδων λαϚ. ἔχει δὲ τὰ νβϚ πρὸς τὰ λαϚ λόγον, ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ γ.

β. τὸ δοθὲν · τρίγωνον εἰς τὸν δοθέντα λόγον διελεῖν εὐθείᾳ τινὶ παραλλήλῳ τῇ βάσει. ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε. καὶ δέον ἔστω αὐτὸ διελεῖν, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τρίγωνον τριπλάσιον εἶναι τοῦ λοιποῦ τραπεζίου. ἔστω ἡ διαιροῦσα εὐθεῖα ἡ 𐅵Ε · τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α𐅵Ε τρίγωνον τοῦ 𐅵ΕΓΒ τραπεζίου · τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Α𐅵Ε τρίγωνον λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ. ὡς δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Α𐅵Ε τρίγωνον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 𐅵Α διὰ τὸ ὅμοια εἶναι τὰ τρίγωνα. καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον μονάδων ρξθ · τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς Α𐅵 τετράγωνον μονάδων ρκϚϚδʹ · αὐτὴ ἄρα ἡ Α𐅵 ἔσται ὡς ἔγγιστα μονάδων ια δʹ. ὥστε ἐὰν ἀπολάβωμεν τὴν Α𐅵 μονάδων ια δʹ καὶ παράλληλον ἀγάγωμεν τὴν 𐅵Ε, ἔσται τὸ προκείμενον. ἵνα δὲ μὴ παράλληλον ἄγωμεν, ἐπειδήπερ ἐν τοῖς χωορίοις δύσεργον ὑπάρχει τὸ τοιοῦτον διὰ τὴν τῶν τόπων ἀνωμαλίαν, ἀποληψόμεθα καὶ τὴν ΑΕ μονάδων ὅσων ἂν ᾖ. ἔστιν δὲ, ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν ΑΒ πρὸς ΑΓ, τουτέστιν ὡς τὰ ιγ πρὸς ιε, οὕτως τὴν Α𐅵, τουτέστιν ια δʹ, πρὸς ἄλλην τινὰ · τουτέστι τὴν ΑΕ. ἔσται μονάδων ιβ να. τοσούτου ἔσται ἡ ΑΕ. ἐπιζεύξαντες οὖν τὴν 𐅵Ε ἕξομεν τὴν διαιροῦσαν τὸ χωρίον. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται τοιαύτη · ἐπεὶ ὁ λόγος, ἐν ᾧ διαιρεῖται, ἔστι γ πρὸς α, σύνθες γ καὶ α · γίγνεται δ. καὶ τὰ ιγ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρξθ. ταῦτα ἐπὶ τὸν γ · γίγνεται φζ. παράβαλε παρὰ τὸν δ · γίγνεται ρκϚϚδʹ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ὡς ἔγγιστα ια δʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸν ιε · γίγνεται ρξηϚδʹ. ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ιγ · γίγνεται ιβ καὶ να. τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΑΕ καὶ ἐπίζευξον τὴν 𐅵Ε.

γ. ἔστω δὴ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχου τὴμ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὴ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΓΑ μονάδων ιε. καὶ ἀπειλήφθω ἡ Α𐅵, εἰ τύχοι, μονάδων ιβ. καὶ δέον ἔστω ἀπὸ τοῦ 𐅵 διαγαγεῖν τὴν 𐅵Ε διαιροῦσαυ τὸ ΑΒΓ πρίγωνον ἐν λόχῳ τῷ δοθάντι. ἔσπω δὴ ὁ λόγος, ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ β. ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, 𐅵 ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετον αἱ ΒΖ 𐅵Η. ἔσται δὴ ἡ ΒΖ κάθετος, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων ια εʹ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς Α𐅵, τουτέστιν ὡς ιγ πρὸς ιβ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς 𐅵Η, καὶ ἔστιυ ἡ ΒΖ ια εʹ, ἡ ἄρα 𐅵Η ἔσται μονάδων ι καὶ κβ καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Α𐅵Ε λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς γ, καὶ ἔστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μονάδων πδ, τὸ ἄρα Α𐅵Ε τρίγωνον ἔσται μονάδων ν καὶ β. τοῦ δὲ Α𐅵Ε τριγώνου διπλάσιόν ἐσυι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ 𐅵Η τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ 𐅵Η ἔσται μονάδων ρ καὶ δ. καὶ ἔστιν ἡ 𐅵Η μονάδων ι καὶ κβ · ἡ ἄρα ΑΕ ἔσπαι μονάδων θϚδʹ. κἂν ἐπιζεύξωμεν τὴν 𐅵Ε, ἔσται τὸ προκείμενον. ἔστι δὲ ἡ μέθοδος τοιαύτη · ἐπεὶ ἡ ΒΖ κάθετός ἐστιν, ια εʹ ἐπὶ τὰ ιβ · καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς τὸν ιγ · γίνονται μονάδες ι καὶ κβ, καὶ ἐπεὶ λόγος, ἐν ᾧ διαιρεῖται, ὁ τῶν γ πρὸς τὰ β, σύνθες γ καὶ. β · γίγνεται ε · καὶ πολλαπλασίασον τὸν γ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου, τουτέστιν ἐπὶ τὰ πδ · γίχνεται σνβ. ταῦτα μέρισον εἰς τὸν ε · γίγνεται νβοέ. ταῦτα δίς · γίγνεται ρ καὶ δ. μέρισον ταῦτα παρὰ τὸν ι καὶ κβ · γίγνονται μονάδες θ𐅵δʹ. τοσούτου ἀπολαβὼν τὴν ΑΕ ἐπίζευξον τὴν 𐅵Ε · καὶ ἔσται τὸ προκείμενον.

δ. τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ ἀφελεῖν ἀπ’αὐτοῦ τρίγωνον τὸ 𐅵ΕΖ δοθὲν τῷ μεγέθει, ὥστε τὰ καταλειπόμενα τρίγωνα τὰ Α𐅵Ε Β𐅵Ζ ΓΕΖ ἴσα εἶναι ἀλλήλοις. ἐὰν δὴ τμηθῶσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τοῖς 𐅵, Ζ, Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α𐅵 πρὸς τὴν 𐅵Β, οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ΖΓ καὶ τὴν ΓΕ πρὸς ΕΑ, ἔσται τὰ Α𐅵Ε Β𐅵Ζ ΖΓΕ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΑΖ καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ, ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΖΓ, οὕτως τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΑΖΕ · καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΖ, οὕτω τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΕΓΖ, ὅ ἐστι δοθέν. δοθὲν δὲ καὶ τὸ ΑΒΓ · δοθὲν ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΖΕΓ, ὅ ἐστι δοθὲν. καὶ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΖ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ · ἀλλὰ τοῦ μὲν ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΒΖ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΗ, τοῦ δὲ ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΖΓ δι πλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΖΓ ΑΗ · δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΑΗ ΖΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΓ · καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΓΑ πρὸς ΑΕ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΓΑ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ 𐅵 δοθέν ἐστι · θέσει ἄρα αἱ 𐅵Ε ΕΖ Ζ𐅵. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ΓΑ μονάδων ιε. ἔστω δὲ καὶ τὸ 𐅵ΕΖ τρίγωνον μονάδων πδ. λοιπὰ ἄρα τὰ Α𐅵Ε 𐅵ΒΖ ΕΖΓ τρίγωνα ἔσται ἀνὰ μονάδων κ. πολλαπλασίασον τὰ πδ ἐπὶ τὰ κ · γίνεται αχπ · ταῦτα τετράκι · γίγνεται ϛψκ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΗ κάθετός ἐστι μονάδων ιβ · ἐφ’ἑαυτὰ γίγνεται ρμδ · μέρισον τὰ ϛψκ παρὰ τὸν ρμδ · γίγνεται μϛ · καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ · ἔσται ἄρα καὶ ἡ μὲν ΒΖ ὡς ἔγγιστα μονάδων η καὶ ἡ ΖΓ μονάδων εϚ. καὶ ποίησον ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ εϚ, οὕτω τὰ ιε πρὸς ἄλλον τινὰ · γίγνεται μονάδων ε κε. πάλιν ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ εϚ, οὕτω τὰ ιγ πρὸς ἄλλον τινὰ · γίγνεται πρὸς μονάδας ε καὶ γ. γίγνεται ἡ Β𐅵 μονάδων ε καὶ γ.

ε. τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ𐅵 καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς Α𐅵 τῇ ΒΓ διελεῖν τὸ ΑΒΓ𐅵 τετράπλευρον κῇ ΕΖ εὐθείᾳ, ὥστε λόγον τοῦ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ𐅵 δοθέντι ἴσον εἶναι δοθεισῶν τῶν ΕΖ Γ𐅵 καὶ εἰς τὸ αὐτὸ νευουσῶν σημεῖον τὸ Η · διὰ δὴ τοῦτο ἔσται ὡς τὸ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ𐅵, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ. ὥστε λόγος καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΓ δοθείς · καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Ε · θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἔστω δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ β πρὸς τὰ γ · καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μονάδων κε, ἡ δὲ ΑΓ μονάδων κ, αἱ δὲ ΑΒ Γ𐅵 οἱαιδηποτοῦν. σύνθες τὰ β καὶ τὰ γ · γίγνεται ε · καὶ τὰ κε ἐπὶ τὸν β · γίγνεται ν · ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε · γίγνεται ι · τοσούτων ἀπειλήφθω μονάδων ἡ ΒΖ. πάλιν τὰ κ ἐπὶ τὰ β · γίγνεται μ · ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε · γίγνεται η. τοσούτων ἀπόλαβε τὴν ΑΕ. καὶ ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΕΖ, ποιήσει τὸ προκείμενον.

ϛ. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων ε καὶ ἐπιτετάχθω ἀπὸ τοῦ Η διαγαγεῖν τὴν ΗΘ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. διήχθω οὖν, ὡς ἐμάθομεν, ἡ ΕΖ διαιροῦσα τὸ χωρίον ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ ΕΘ · ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ ΕΖ τῷ ΑΒΘΗ · ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν · παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ · ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ · δοθεῖσα δὲ ἡ ΗΕ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ · καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Ζ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Θ · θέσει ἄρα ἡ ΗΘ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἀπειλήφθω ἡ ΒΖ μονάδων ι · τοσούτου γὰρ ἀπεδείχθη · καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ ἐστὶ μονάδων η, ἡ δὲ ΑΗ μονάδων ε, λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΕ μονάδων γ. καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΖΘ · ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΖΘ μονάδων γ. ὥστε ὅλη ἡ ΒΘ ἔσται μονάδων ιγ · ἐπιζευχθείσης οὖν τῆς ΗΘ ἔσται τὸ προκείμενον.

ζ. πάλιν δὲ τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ𐅵 καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς ΑΒ τῇ Γ𐅵 ἀγαγεῖν αὐταῖς παράλληλον τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΓΑ 𐅵Β ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΕΒΖ πρὸς τὸ ΕΓΖ𐅵, λόγος ἄρα ἐστὶν καὶ τοῦ ΑΒΓ𐅵 πρὸς τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἔστιν τὸ ΑΓΒ𐅵 δοθέν · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ𐅵 πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ, λόγος δὲ τῆς Γ𐅵 πρὸς τὴν ΒΑ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ · καὶ διελόντι τῆς ΓΑ πρὸς ΑΗ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΓΑ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΗ · κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΒΗ · δοθὲν ἄρα τὸ ΑΗΒ τρίγωνον. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΕΖΒ πετράπλευρον δοθέν ἐστιν. καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΕΗΖ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΗΒ · ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΗ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ · δοῦὲν ἄρα τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ Ζ. θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἔστω ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Β𐅵 μονάδων ιε, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ϛ, ἡ δὲ Γ𐅵 μονάδων κ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ𐅵, ὡς ἐπάνω ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ρνϛ. ἔστω δὲ ὁ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς πὰ ε · σύνθες οὖν γ καὶ ε · γίγνεται η. καὶ τὰ ρνϛ ἐπὶ τὰ γ · γίγνεται υξη. ταῦτα μέρισον εἰς τὸν η. γίγνεται νηϚ. τοσούτου ἔσται τὸ ΑΕΒΖ. καὶ ἄφελε ἀπὸ τῶν κ τὰ ϛ · λοιπὰ ιδ. καὶ τὰ ιγ ἐπὶ τὰ ϛ · γίγνεται οη. παράβαλε παρὰ τὸν ιδ · γίγνεται ε καὶ δ. ἔσται ἡ ΑΗ μονάδων ε καὶ δ. πάλιν τὰς ιε ἐπὶ τὸν ϛ · γίγνεται παράβαλε παρὰ τὸν ιδ · γίγνεται ϛ γ. καὶ ἔσται ἡ ΒΗ μονάδων ϛ καὶ γ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ϛ · τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΗΒ τριγώνου ἔσται μονάδων ιε καὶ γ. τοῦ δὲ ΑΕΖΒ τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν νηϚ · ὅλου ἄρα τοῦ ΕΖΗ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων ογ ιγ. καὶ πολλαπλασίασον μονάδας ε καὶ δ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται λα καὶ β. ἐπὶ τὰ ογ ιγ, καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν ιε καὶ γ, καὶ τῶν γενομένων πλευρὰν λαβέ · γίγνεται ιβ καὶ ιδʹ ὡς ἔγγιστα · καὶ ἀπὸ τῆς εὑρεθείσης πλευρᾶς ἄφελε τὰ ε καὶ δ · ἔσονται λοιπαὶ μονάδες ϚϚ · ἀπόλαβε οὖν τὴν ΑΕ μονάδων ϚϚ καὶ ποίησον ὡς ιγ πρὸς ιε, οὕτως ϚϚ πρὸς τί · ἔσται δὲ πρὸς μονάδας ζϚ · ἀπόλαβε τὴν ΒΖ μονάδων ζϚ · ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον.

η. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων β · καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΗΘ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον. διήχθωσαν οὖν αἱ ΗΘ, ΕΖ τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαι τὸ τετράπλευρον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ, ΕΘ · ἔσται δὴ ὁμοίως ἴσον τὸ ΑΗΒΘ τῷ ΑΕΖΒ. ὥστε καὶ τὸ ΗΕΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ. παράλληλος ἄρα ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ. ἤχθω δὴ καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΗΚ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΚΖ τρίγωνον τῷ ΕΖΘ. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΚ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΖΚ. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ · ἀλλὰ καὶ τὺ Η · θέσει ἄρα ἡ ΗΘ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ποίησον ὡς τὰ ιγ πρὸς τὰ ιε, οὕτως τὰ β πρὸς τί · γίγνεται β καὶ δ. ὅλη δὲ ἡ ΒΖ ἦν ζϚ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ ἔσται μονάδων ε καὶ ε. ἡ δὲ ΑΗ ε καὶ δ · καὶ σύνθες τὰς ϚϚ καὶ μονάδας ε καὶ δ · γίγνεται ιβ ιδʹ. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ μονάδας ε καὶ ε · καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς μονάδας ε καὶ δ · γίγνονται μονάδες. η δʹ. τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΖΘ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ποιήσει τὸ προκείμενον.

θ. κύκλου δοθέντος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, γράψαι ἕτερον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον αὐτῷ, οὗ διάμετρος ἡ Γ𐅵, διαιροῦντα τὸν ἐξ ἀρχῆς κύκλον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τῆς ΑΒ Γ𐅵 ἴτυος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν Γ𐅵 κύκλον δοθείς, λόγος ἄρα καὶ τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ Γ𐅵 κύκλου δοθείς. ὡς δὲ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω τὰ ἀπὸ τῶν δίαμέτρων τετράγωνα · λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ𐅵 δοθείς · καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΒ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Γ𐅵. συντεθήσεται δὴ οὕτως · ἔστω ἡ μὲν ΑΒ διάμετρος μονάδων κ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς τὰ ε. σύνθες τὰ γ καὶ τὰ ε · γίγνεται η · καὶ τὰ κ ἐφ’ἐαυτά · γίγνεται υ · ἐπὶ τὸν ε · γίγνεται β. ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν η · γίγνεται σν · τούτων πλευρὰν λαβὲ ὡς ἔγγιστα · γίγνεται ιε ιγ. τοσούτου ἔσται ἡ Γ𐅵 διάμετρος.

ι. ὅσα μὲν οὖν τῶν ἐπιπέδων δυνατὸν ἦν ἀριθμοῖς διαιρεῖσθαι, προγέγραπται · ὅσα δὲ διαιρεῖσθαι μὲν ἀναγκαῖόν ἐστι, δι’ἀριθμῶν δὲ οὐ δύναται, ταῦτα γεωμετρικῶς ἐκθησόμεθα. ἔστω τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ καὶ ἐκβληθείσης αὐτοῦ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ 𐅵 διαγαγεῖν τὴν 𐅵 Ε διαιροῦσαν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐν λόγῳ δοθέντι. γεγονέτω · ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΖΕΒΓ τετράπλευρον, συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΖΕ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΒΓ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖΕ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ 𐅵. εἰς δύο ἄρα θέσεις τὰς ΑΒ, ΑΓ πεπερασμένας κατὰ τὸ αὐτὸ τὸ Α ἀπὸ δοθέντος τοῦ 𐅵 διῆκταί τις εὐθεῖα χωρίον ἀποτέμνουσα δοθέν · δοθέντα ἄρα τὰ Ε, Ζ σημεῖα. τοῦτο δὲ ἐν τῷ βʹ τῆς τοῦ χωρίου ἀποτομῆς δέδεικται. δέδεικται ἄρα τὸ προκείμενον. κἂν τὸ 𐅵 σημεῖον μὴ ἐπὶ τῆς ΒΓ, ἀλλ’ὡς ἔτυχεν, οὐδὲν διοίσει.

ια. τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ𐅵 καὶ τμηθείσης τῆς Α𐅵 κατὰ τὸ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ τέμνουσαν τὸ ΑΒΓ𐅵 τετράπλευρον ἐν τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν 𐅵Ε λόγῳ. γεγσνέτω · καὶ ἤχθω τῇ μὲν Α𐅵 παράλληλος ἡ ΓΗ, τῇ δὲ ΕΒ ἐπιζευχθείσῃ παράλληλος ἡ ΗΘ · καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΕ ΕΘ ΕΗ. ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗΕ τρίγωνον τῷ ΕΒΘ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΕ. τὸ ἄρα ΑΗΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΘΕ τετραπλεύρῳ · ὡς ἄρα τὸ ΑΗΕ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν Ε𐅵, οὕτως τὸ ΑΒΘΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΓ𐅵 τρίγωνον. τετμήσθω δὴ καὶ ἡ ΓΘ κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν Ε𐅵, τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ, τουτέστι τὸ ΕΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΓΖ · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΖ𐅵Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν Ε𐅵 · ἐπεὶ οὖν δοθὲν τὸ Γ, θέσει ἄρα καὶ ἡ ΓΗ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒΗ · δοθὲν ἄρα τὸ Η. καὶ ἔστι παρὰ θέσει τὴν ΒΕ ἡ ΗΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ · δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΘ · καὶ τέτμηται ἐν δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Ζ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν ἐπιζεῦξαι τὴν ΒΕ καὶ τῇ μὲν 𐅵Ε παράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΓΗ, τῇ δὲ ΒΕ τὴν ΗΘ, καὶ τεμεῖν τὴν ΘΓ κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς Ε𐅵, οὕτω τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον.

ιβ. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων δεδόσθω τι τυχὸν σημεῖον τὸ Ε καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω · καὶ διῃρήσθω ἡ Α𐅵 ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η · καὶ διήχθω ἡ ΘΕ τῷ αὐτῷ λόγῳ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον. δοθέντα ἄρα τὰ Η, Θ. δοθὲν δὲ καὶ τὸ Ε · θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · διῃρήσθω ἡ Α𐅵 ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ καὶ ταύτῃ παράλληλος ἡ ΗΖ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ. ἔσται δὴ αὕτη ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

ιγ. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ διδόμενον σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς ἔστω πλευρᾶς τοῦ τετραπλεύρου. καὶ ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τετράπλευρον τὸ ΑΒΓ𐅵, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ Ε · καὶ ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ ποιοῦσαν λόγον τοῦ ΑΒΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΓ𐅵 δοθέντα · καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ𐅵 πρὸς τὸ ΑΒΖΗ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓ𐅵 τετράπλευρον · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒ ΖΗ. καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστιν ἡ Α𐅵 τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ ΑΒΖΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΗ ΒΖ καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ἀπὸ τοῦ Α καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΒΓ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ κάθετος · δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΒ ΖΗ · θέσει ἄρα ἡ ΖΕ. τοῦτο γὰρ ἑξῆς. εἰ δὲ μή εἰσι παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Θ · δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ τετράπλευρον. καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΗΖΘ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Θ γωνία · δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗΖ · ἀπῆκται ἄρα εἰς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομήν · θέσει ἄρα ἡ ΕΖ.

ιδ. ἑξῆς δὲ δείξομεν, ὡς δεῖ πολυπλεύρου εὐθυγράμμου δοθέντος καὶ σημείου ἐπὶ μιᾶς αὐτοῦ πλευρᾶς διαγαγεῖν ἀπὸ τοῦ σημιείου εὐθεῖαν διαιροῦσαν τὸ χωρίον ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ · ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον τὸ ΑΒΓ𐅵ΕΖ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μιᾶς αὐτοῦ πλευρᾶς ἔστω τὸ Η · καὶ διήχθω ἡ ΗΘ διαιροῦσα τὸ ΑΒΓ𐅵ΕΖ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ · ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΘΗΖ χωρίου πρὸς τὸ ΗΘΓ𐅵Ε δοθείς, καὶ συνθέντι ἄρα λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΓ𐅵ΕΖ πρὸς τὸ ΗΘΓ𐅵Ε δοθείς · δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓ𐅵ΕΖ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘΓ𐅵Ε ὧν τὸ ΗΓ𐅵Ε δοθέν ἐστι · λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΘΓ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστιν αὐτοῦ διπλάσιον, καθέτου ἀχθείσης τῆς ΗΚ ἐπὶ τὴν ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΓΘ ΗΚ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΗΚ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ · θέσει ἄρα ἡ ΘΗ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἔστω δοθεὶς λόγος τῆς ΛΜ πρὸς τὴν ΜΝ · καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΛΜ πρὸς ΜΝ, οὕτως τὸ ΑΒΓ𐅵ΕΖ πρὸς ἄλλο τι χωρίον τὸ Ξ · καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἀφῃρήσθω ἴσον τῷ ΗΓ𐅵Ε · καὶ ἔστω λοιπὸν τὸ Ο. καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω ἡ ΗΚ · καὶ παραβεβλήσθω τὸ Ο παρὰ τὴν ΗΚ · καὶ ποιείτω πλάτος τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΘ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ · ἔσται δὴ ἡ ΗΘ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

ιε. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς πλευρᾶς, καὶ ἔστω τὸ Η · καὶ διήχθω ἡ ΗΘ, ὥστε ἐν δοθέντι λόγῳ διαιρεῖν τὸ χωρίον · δοθὲν ἄρα ἔσται τὸ ΚΘΓ𐅵Ε. καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστι ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ · ἔσται λοιπὸν τὸ ΘΓΕΚ · ὥσG2ε θέσει ἐστὶν ἡ ΗΘ. εἰ δὲ οὔκ εἰσι παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ · δοθὲν ἄρα τὸ Γ𐅵ΕΛ · καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΘΚΛ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Λ γωνία · δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΛΘ · ἀπῆκται ἄρα πρὸς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομὴν · θέσει ἄρα ἡ ΗΘ.

ιϛ. δύο θέσει παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΑΒ, Γ𐅵 καὶ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΚΒ𐅵 ποιοῦσαν συναμφότερον τὴν ΑΒ, Γ𐅵 δοθεῖσαν. γεγονέτω · καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἡ 𐅵Ζ. δοθεῖσα ἄρα ἡ Γ𐅵Ζ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ · θέσει ἄρα ἡ ΑΖ. καὶ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Η · ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΑΒ, 𐅵Ζ · δοθὲν ἄρα τὸ Η. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε · θέσει ἄρα ἡ ΕΗ. δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν θεῖναι τῇ δοθείσῃ ἴσην τὴν ΓΖ καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΑΖ καὶ δίχα τεμεῖν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπιζεύξαντα τὴν ΕΗ ἐκβαλεῖν ἐφ’ἑκάτερα · καὶ ἔσται ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

ιζ. σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινὶ, ὥστε τὰς ἐπι-φανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Α πρὸς τὴν Β. καὶ ἐκκείσθω ὁ μέγιστος κύκλος τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ διάμετρος ἡ Γ𐅵. καὶ τετμήσθω ἡ Γ𐅵 κατὰ τὸ Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὴν ΓΕ πρὸς τὴν Ε𐅵. καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ Γ𐅵 πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, Ζ𐅵 · καὶ εἰλήφθω τὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Θ · καὶ πόλῳ τῷ Ε, διαστήματι δὲ ἴσῳ τῷ ΓΖ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας. ἔσται δὴ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα ἐν τῇ σφαίρᾳ ὑπὸ τοῦ ΚΛ κύκλου τὰς ἐπιφανείας ἔχοντα λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν τῷ τῆς Α πρὸς τὴν Β · ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Θ πόλῳ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ τοῦ λοιποῦ τμήματος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ 𐅵Ζ. οἱ δὲ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ Ζ𐅵 τετράγωνα πρὸς ἄλληλα · ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 𐅵Ζ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν Ε𐅵, τουτέστιν ἡ Α πρὸς τὴν Β. αἱ ἄρα εἰρημέναι ἐπιφάνειαι λόγον ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας τὸν τῆς Α πρὸς τὴν Β ταῦτα γὰρ ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας Ἀρχιμήδει δέδεικται.

ιη. τὸν δοθέντα κύκλον διελεῖν εἰς τρία ἕσα θυσὶν εὐθείαις. τὸ μὲν οὖν πρόβλημα ὅτι οὐ ῥητόν ἐστι, δῆλον, τῆς εὐχρηστίας δὲ ἕνεκεν διελοῦμεν αὐτὸν ὡς ἔγγιστα οὕτω. ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ πλευρὰ ἡ ΒΓ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ 𐅵ΑΕ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ 𐅵Γ. λέγω ὅτι τὸ 𐅵ΒΓ τμῆμα τρίτον ἔγγιστά ἐστι μέρος τοῦ ὅλου κύκλου. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ ΑΓ. ὁ ἄρα ΑΒΓΖΒ τομεὺς τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου κύκλου. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓ𐅵τριγώνῳ · τὸ ἄρα Β𐅵ΓΖ σχῆμα τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὅλου κύκλου, ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστιν αὐτοῦ τὸ 𐅵ΒΓ τμῆμα ὄντος ὡς πρὸς τὸν ὅλον κύκλον. ὁμοίως δὲ καὶ ἑτέραν πλευρὰν ἰσοπλεύρου τριγώνου ἐγγράψαντες ἀφελοῦμεν ἕτερον τρίτον μέρος · ὥστε καὶ τὸ καταλειπόμενον τρίτον μέρος ἔσται τοῦ ὅλου κύκλου.

ιθ. τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον τὸ 𐅵, ὥστε ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν τῶν 𐅵Α 𐅵Β𐅵Γ τὰ ΑΒ𐅵 𐅵ΒΓ ΓΑ𐅵 τρίγωνα ἴσα εἶναι. γεγονέτω · καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ 𐅵Ε καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ · τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΕΒΓ · τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΕΒΓ τριγώνου. ὥστε καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΕ ἐστὶ τριπλῆ. καὶ ἔστι ἡ ΑΒ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΕ · καὶ δοθὲν τὸ Β · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε · καὶ παρὰ τὴν ΒΓ ἡ Ε𐅵 · θέσει ἄρα ἡ Ε𐅵. πάλιν δὲ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ 𐅵Ζ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΑ τριπλασία ἐστὶ τῆς ΖΑ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · θέσει ἄρα ἡ Ζ𐅵 · θέσει δὲ καὶ ἡ 𐅵Ε · δοθὲν ἄρα τὸ 𐅵. συντεθήσεται δὴ οὕτως. εἰλήφθω τῆς μὲν ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΒΕ, τῆς δὲ ΑΓ ἡ ΑΖ, καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἡ Ε𐅵, τῇ δὲ ΑΒ ἡ Ζ𐅵. ἐπιζευχθεῖσαι οὖν αἱ 𐅵Α, 𐅵Β, 𐅵Γ ποιήσουσι τὰ ΑΒ𐅵, 𐅵ΒΓ, Γ𐅵Α τρίγωνα ἴσα. αἱ μὲν οὖν τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων χωρίων διαιρέσεις αὐτάρκως εἴρηνται, ἑξῆς δὲ ἐπὶ τὰ στερεὰ χωρήσομεν. ὅσα μὲν οὖν ἰσοπαχῆ τυγχάνει στερεὰ, οἷον κύλινδροι καὶ παραλληλεπίπεδα καὶ ὅσα ἁπλῶς τὰς βάσεις ταῖς κορυφαῖς τὰς αὐτὰς ἔχει, εὐκόπως διαιρεῖται εἰς τοὺς δοθέντας λόγους. ὃν γὰρ ἔχει λόγον τὸ μῆκος, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ στερεὸν. τῶν δὲ μειούρων αἱ διαιρέσεις οὐχ οὕτως, οἷον πυραμίδων καὶ κώνων καὶ τῶν τοιούτων · διὸ περὶ αὐτῶν γράψομεν.

κ. ἔστω γὰρ πυραμὶς βάσιν μὲν ἔχουσα οἱανδηποτοῦν τὴν ΑΒΓ𐅵, κορυφὴν δὲ τὸ Ε σημεῖον · καὶ δεδόσθω αὐτῆς μία πλευρὰ ἡ ΑΕ μονάδων ε. καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ὥστε τὴν ἀποτεμνομένην πρὸς τῇ κορυφῇ πυραμίδα τοῦ καταλειπομένου στερεοῦ εἶναι, εἰ τύχοι, τετραπλῆν. τεμνέσθω καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΖΗΘΚ. ἡ ἄρα ΑΖ πλευρά ἐστι τοῦ ΑΒΓ𐅵 ΖΗΘΚ στερεοῦ · ἡ ἄρα ΑΒΓ𐅵Ε πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΘΗΚΕ πυραμίδα λόγον ἔχει, ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ. ὡς δὲ αἱ πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ο ἀπὸ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν κύβοι · ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβον λόγον ἔχει, ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ · καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος μονάδων ρκε · ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβος ἔσται μονάδων ρ. δεήσει ἄρα τῶν ρ μονάδων λαβεῖν κυβικὴν πλευρὰν ὡς ἔγγιστα · ἔστι δὲ μονάδων δ καὶ θ, ὡς ἑξῆς δείξομεν. ὥστε ἐὰν ἀποληφθῇ ἡ ΕΖ μονάδων δ καὶ θ καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τμηθῇ ἡ πυραμὶς ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ἔσται τὸ προκείμενον. συντεθήσεται δὲ οὕτως · κύβισον τὰ ε · γίγνεται ρκε. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶν, ἐν διαιρεῖται ἡ πυραμὶς, ὃν δ πρὸς α, σύνθες δ καὶ ἓν · γίγνεται ε. καὶ τὰ ρκε ἐπὶ τὸν δ · γίγνεται φ. παράβαλε παρὰ τὸν ε · γίγνεται ρ · καὶ τούτων κυβικὴν πλευράν · γίγνεται δ καὶ θ. τοσούτου ἔσται ἡ ΕΖ. ὡς δὲ δεῖ λαβεῖν τῶν ρ μονάδων κυβικὴν πλευρὰν, νῦν ἐροῦμεν. λαβὲ τὸν ἔγγιστα κύβον τοῦ ρ τόντε ὑπερβάλλοντα καὶ τὸν ἐλλείποντα · ἔστι δὲ ὁ ρκε καὶ ὁ ξδ. καὶ ὅσα μὲν ὑπερβάλλει, μονάδες κε, ὅσα δὲ ἐλλείπει, μονάδες λϛ. καὶ ποίησον τὰ ε ἐπὶ τὰ λϛ · γίγνεται ρπ · καὶ τὰ ρ · γίγνεται σπ. καὶ παράβαλε τὰ ρπ παρὰ τὰ σπ · γίγνεται θ. πρόσβαλε τῇ τοῦ ἐλάσσονος κύβου πλευρᾷ, τουτέστι τῷ δ · γίγνεται μονάδες δ καὶ θ. τοσούτων ἔσται ἡ τῶν ρ μονάδων κυβικὴ πλευρὰ ὡς ἔγγιστα.

κα. τὸν δοθέντα κῶνον διελεῖν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ. καὶ ἔστω αὐτοῦ ἡ πλευρὰ μονάδων ε. καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν, ὡς εἴρηται, ὥστε τὸν ἀποτεμνόμενον πρὸς τῇ κορυφῇ κῶνον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ καταλειπομένου κολούρου κώνου. ἀκολούθως οὖν τοῖς ἐπὶ τῆς πυραμίδος εἰρημένοις ἕξει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Γ𐅵 κύβον λόγον, ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ δ · ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς Γ𐅵 κύβος ἔσται μονάδων ρ · αὐτὴ ἄρα ἡ Γ𐅵 ἔσται μονάδων δ καὶ θ ἔγγιστα. ἀπειλήφθω οὖν ἡ Γ𐅵 τοσούτων. καὶ διὰ τοῦ 𐅵 ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω παράλληλον τῇ βάσει καὶ ποιείτω τομὴν τὸν 𐅵Ε κύκλον, ὃς ποιήσει τὸ προκείμενον.

κβ. Ἔστω δὴ δοθεὶς κόλουρος κῶνος, ὃν δεῖ διελεῖν ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. ἔστω βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ ὁ 𐅵Ε. καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν αὐτὸν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τμῆμα τετραπλάσιον εἶναι τοῦ καταλειπομένου · δεδόσθω δ’ἡ μὲν τοῦ ΑΒ κύκλου διάμετρος μονάδων κη, ἡ δὲ τοῦ ΑΕ μονάδων κα, τὸ δὲ ὕψος μονάδων ιβ · καὶ διῃρήσθω, ὡς εἴρηται, τῷ ΖΗ κύκλῳ, ὥστε τὸν 𐅵ΕΖΗ κῶνον κόλουρον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ ΖΗΑΒ κολούρου κώνου · ὁ ἄρα ΑΒ𐅵Ε κωνοκόλουρος πρὸς τὸν 𐅵ΕΖΗ λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς δ. καὶ ἔστιν ὁ ΑΒ𐅵Ε κωνοκόλουρος δοθείς · αἱ γὰρ διάμετροι τῶν βάσεων αὐτοῦ δοθεῖσαί εἰσιν καὶ ἔτι τὸ ὕψος δοθέν · δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ 𐅵ΕΖΗ κωνοκόλουρος. ἤχθω δὴ κάθετος ἡ 𐅵Θ καὶ προσηυξήσθω ὁ κῶνος. καὶ ἔστω αὐτοῦ κορυφὴ τὸ Γ, ἄξων δὲ ὁ Γ𐅵. ἐπεὶ ἡ 𐅵Ε ἔστι δοθεῖσα, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ 𐅵Λ, τουτέστιν ἡ ΚΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ 𐅵Κ δοθεῖσά ἐστιν · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστιν · λόγος ἄρα τῆς Κ𐅵 πρὸς ΑΘ δοθείς · ὥστε καὶ τῆς ΓΚ πρὸς 𐅵Θ · καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ 𐅵Θ · δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΚ · ὧν ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστιν · ἴση γάρ ἐστι τῇ 𐅵Θ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ𐅵 δοθεῖσά ἐστιν · δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ Γ𐅵Ε κῶνος κ ΖΗ · καὶ ἔτι ὁ ΓΒΑ · λόγος ἄρα τῶν ΓΑΒ, 𐅵ΕΓ κώνων πρὸς τὸν ΓΗΖ κῶνον. ὡς δὲ οἱ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω καὶ οἱ απὸ τῶν ΓΚΛ κύβοι πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΓΜ κύβον. δοθέντες δὲ οἱ ἀπὸ τῶν ΚΓΛ κύβοι · δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΓΜ κύβος · δοθεῖοα ἄρα ἡ ΓΜ · ὥστε καὶ ἡ ΛΜ · λόγος ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστι τῆς Α𐅵 πρὸς ΑΖ δοθείς · καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Α𐅵, ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα τῶν 𐅵Θ ΘΑ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΖ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ · ὥστε καὶ ἡ δι’αὐτοῦ τομὴ, τουτέστιν ὁ ΖΗ κύκλος. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · λαβὲ τὸ στερεὸν τοῦ κολουροκώνου, ὡς ἐμάθομεν. γίνεται εχϚη. ταῦτα ἐπὶ τὸν δ · γίγνεται μβ ψχϚ β. παράβαλε παρὰ τὸν ε · γίγνεται δφνη β · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ 𐅵ΕΖΗ κολουροκώνου. καὶ ἀπὸ τῶν κη ἄφελε κα · λοιπὰ ζ · τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται γϚ · καὶ τῶν κη τὸ ἥμισυ · γίγνεται ιδ · καὶ ποίησον ὡς τὰ γϚ · πρὸς τὰ ιδ, οὕτως τὸ ὕψος, τουτέστι τὰ ιβ, πρὸς ἄλλον τινά · ἔστι δὲ πρὸς μη. ἄφελε τὰ ιβ · λοιπὰ λϛ · ἔσται ὁ ἄξων τοῦ Γ𐅵Ε κώνου μονάδων λϛ. καὶ ἔστιν ἡ 𐅵Ε διάμετρος μονάδων κα · τὸ ἄρα στερεὸν τοῦ κώνου, ὡς ἐμάθομεν, ἔσται δρνη · πρόσθες ταῦτα ἑκατέρῳ τῷτε εχϚη καὶ τῷ δφνη β · γίγνεται θωνϛ · καὶ τὰ δρνη · γίγνεται μ διδ · σύνθες τὰ δφνη β καὶ τὰ δρνη · γίγνεται μ διδ. καὶ κύβισον τὸν μη · καὶ ἔτι τὸν λϛ · καὶ σύνθες τοὺς β κύβους · γίνονται μ ξσμη. ποίησον οὖν ὡς τὰ μ διδ πρὸς τὸ ηψιϛ β, οὕτως μ ζσμη πρός τι · ἔστι δὲ πρὸς μ ζν. τούτων λαβὲ κυβικὴν πλευρὰν ὡς ἔγγιστα · γίγνονται μϛ. ἄφελε τὰς λϛ · λοιπαὶ μονάδες ι · καὶ τὰ ιβ τοῦ ὕψους ἐφ’ἑαυτά · γίνεται ρμδ · καὶ τὰ γϚ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ιβ δʹ. σύνθες · γίγνονται ρνϛ δʹ · ὧν πλευρὰ γίγνεται ιβϚ · ἡ τοῦ κωνοκολούρου πλευρὰ ἡ 𐅵Α ιβϚ · καὶ ποίησον ὡς τὰ ιβ τοῦ ὕψους πρὸς τὰ ι, οὕτως τὰ ιβϚ πρὸς τί · ἔστι δὲ πρὸς ι ε. καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τετμήσθω ὁ κῶνος, ὡς εἴρηται. καὶ ἔσται τὸ προκείμενον.

κγ. τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν ἐπιταχθέντα. ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς λόγος τῆς Α πρὸς τὴν Β · καὶ ἐκκείσθω κύκλος ἐν ἐπιπέδῳ εἷς τῶν μεγίστων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ κέντρον μὲν τὸ Γ, διάμετρος δὲ ἡ 𐅵Ε · καὶ τῇ ΓΕ ἴση κείσθω ἡ ΕΖ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Η, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ, τὴν Α πρὸς τὴν Β · ἡ δὲ 𐅵Ε τετμήσθω κατὰ τὸ Θ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΕΖ πρὸς ΖζΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ Ε𐅵 πρὸς τὸ ἀπὸ 𐅵Θ · καὶ τῇ 𐅵Ε πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚΛ · καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Κ𐅵 · καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας καὶ πόλῳ τῷ Μ, διαστήματι δὲ ἴσῳ τῇ Κ𐅵 κύκλος γεγράφθω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὁ ΝΞ. λέγω ὅτι τὰ ἀπολαμβανόμενα τμήματα ὑπὸ τοῦ γραφέντος κύκλου πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἡ Α πρὸς τὴν Β. τοῦτο γὰρ ὁμοίως Ἀρχιμήδει δέδεικται ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας.