Metrics, 1

ἡ πρώτη γεωμετρία, ὡς ὁ παλαιὸς ἡμᾶς διδάσκει λόγος, περὶ τὰς ἐν τῇ γῇ μετρήσεις καὶ διανομὰς κατησχολεῖτο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη · χρειώδους δὲ τοῦ πράγματος τοῖς ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ πλέον προήχθη τὸ γένος, ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν τῶντε μετρήσεων καὶ διανομῶν · καὶ ἐπειδὴ οὐκ ἐξήρκει τὰ πρῶτα ἐπινοηθέντα θεωρήματα, προσεδέηθησαν ἔτι περισσοτέρας ἐπισκέψεως, ὥστε καὶ μέχρι νῦν τινὰ αὐτῶν ἀπορεῖσθαι, καίτοι Ἀρχιμήδουςτε καὶ Εὐδόξου γενναίως ἐπιβεβληκότων τῇ πραγματείᾳ. ἀμήχανον γὰρ ἦν πρὸ τῆς Εὐδόξου ἐπινοίας ἀπόδειξιν ποιήσασθαι, δι’ἧς ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι, καὶ ὅτι οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα. καὶ πρὸ τῆς Ἀρχιμήδους συνέσεως ἄπιστον ἦν ἐπινοῆσαι, διότι ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ καὶ ὅτι τὸ στερεὸν αὐτῆς δύο τριτημόριά ἐστι τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κυλίνδρου καὶ ὅσα τούτων ἀδελφὰ τυγχάνει. ἀναγκαίας οὖν ὑπαρχούσης τῆς εἰρημένης πραγματείας καλῶς ἔχειν ἡγησάμεθα συναγαγεῖν, ὅσα τοῖς πρὸ ἡμῶν εὔχρηστα ἀναγέγραπται καὶ ὅσα ἡμεῖς προσεθεωρήσαμεν. ἀρξώμεθα δὲ ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων μετρήσεων, συμπαραλαμβάνοντες τοῖς ἐπιπέδοις καὶ τὰς ἄλλας ἐπιφανείας κοίλας ἢ κυρτὰς, ἐπειδήπερ πᾶσα ἐπιφάνεια ἐκ δύο διαστάσεων ἐπινοεῖται. αἱ δὲ συγκρίσεις τῶν εἰρημένων ἐπιφανειῶν γίγνονται πρός τι χωρίον εὐθύγραμμόντε καὶ ὀρθογώνιον, εὐθύγραμμον μὲν, ἐπεὶ ἡ εὐθεῖα ἀμετάπτωτός ἐστι παρὰ τὰς ἄλλας γραμμάς · πᾶσα γὰρ εὐθεῖα ἐπὶ πᾶσαν εὐθεῖαν ἐφαρμόζει, αἱ δὲ ἄλλαι κοῖλαι ἢ κυρταὶ οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας. […] διὸ πρὸς ἑστηκός τι, λέγω δὲ τὴν εὐθεῖαν, ἔτι δὲ καὶ πρὸς τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν σύγκρισιν ἐποιήσαντο · πάλιν γὰρ πᾶσα ὀρθὴ ἐπὶ πᾶσαν ὀρθὴν ἐφαρμόζει, αἱ δ’ἄλλαι οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας. καλεῖται δὲ πῆχυς μὲν ἐμβαδὸς, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν ἔχῃ πήχεος ἑνός · ὁμοίως δὲ καὶ ἐμβαδὸς ποῦς καλεῖται, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἔχῃ ἑκάστην πλευρὰν ποδὸς ἑνός. ὥστε αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὰς συγκρίσεις λαμβάνουσι πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἢ τὰ τούτων μέρη. πάλιν δ’αὖ τὰ στερεὰ σώματα τὰς συγκρίσεις λαμβάνει πρὸς χωρίον στερεὸν εὐθύγραμμόντε καὶ ὀρθογώνιον, πάντη ἰσόπλευρον · τοῦτο δέ ἐστι κύβος ἔχων ἑκάστην πλευρὰν ἤτοι πήχεος ἑνὸς ἢ ποδὸς ἑνός · ἢ πάλιν πρὸς τὰ τούτων μέρη. δι’ἣν μὲν οὖν αἰτίαν πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἡ σύγκρισις γίνεται, εἴρηται, ἑξῆς δὲ ἀρξώμεθα τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις μετρήσεων. ἵνα οὖν μὴ καθ’ἑκάστην μέτρησιν πόδας ἢ πήχεις ἢ τὰ τούτων μέρη ὀνομάζωμεν, ἐπὶ μονάδων τοὺς ἀριθμοὺς ἐκθησόμεθα · ἐξὸν γὰρ αὐτὰς πρὸς ὃ βούλεταί τις μέτρον ὑποτίθεσθαι.

α. ἔστω χωρίον ἑτερόμηκες τὸ ΑΒΓ𐅵 ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ε, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων γ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ἐπεὶ πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ ἔστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ περιεχόμενον τοιοῦτο, τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑτερομήκους ἔσται μονάδων ιε. ἐὰν γὰρ ἑκατέρα πλευρὰ διαιρεθῇ ἡ μὲν ΑΒ εἰς τὰς μονάδας ε, ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως εἰς τὰς γ μονάδας καὶ διὰ τῶν τομῶν παράλληλοι ἀχθῶσιν ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευραῖς, ἔσται τὸ χωρίον διῃρημένον εἰς χωρία ιε, ὧν ἕκαστον ἔσται μονάδος α. κἂν τετράγωνον δὲ ᾖ τὸ χωρίον, ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος.

β. ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν. καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων γ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων δ. εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου καὶ τὴν ὑποτείνουσαν. προσαναπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ𐅵 παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν, ὡς ἐπάνω δέδεικται, μονάδων ιβ. τὸ δὲ ΑΒΓ τρίγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ ΑΒΓ𐅵 παραλληλογράμμου · ἔσται οὖν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων ϛ · καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία, τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ. καὶ ἔστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετράγωνα μονάδων κε · καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄρα ἔσται μονάδων κε · αὐτὴ ἄρα ἡ ΑΓ μονάδων ε. ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη · τὰ μὲν γ ἐπὶ τὰ δ ποιήσαντα λαβεῖν τὸ ἥμισυ τούτων · γίνεται ϛ · τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. καὶ G?τὰ γ ἐφ’ἑαυτὰ ποιήσαντα καὶ ὁμοίως τὰ δ ἐφ’ἑαυτὰ ποιήσαντα συνθεῖναι · καὶ γίγνονται κε · καὶ τούτων πλευρὰν λαβόντα ἔχειντοῦ τριγώνου τὴν ὑποτείνουσαν.

γ. ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι. τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιβ. εὑρεῖν αὐτοὺ τὸ ἐμβαδὸν. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α𐅵. καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ Α𐅵 παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, ΓΖ · διπλάσιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου · βάσιντε γὰρ αὐτῷ ἔχει τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσοσκελές ἐστι καὶ κάθετος ἦκται ἡ Α𐅵, ἴση ἐστὶν ἡ Β𐅵 τῇ 𐅵Γ. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ · ἡ ἄρα Β𐅵 ἐστὶ μονάδων ϛ. ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι · ἡ ἄρα Α𐅵 ἔσται μονάδων η, ἐπειδήπερ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Β𐅵 𐅵Α · ὥστε καὶ ἡ ΒΕἔσται μονάδων η. ἡ δὲ ΒΓ ἐστὶ μονάδων ιβ. τοῦ ἄρα ΒΓΕΖ παραλληλογράμμου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων Ϛ · ὥστε τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων μη. ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη · λαβὲ τῶν ιβ τὸ ἥμισυ · γίνονται ϛ · καὶ τὰ ι ἐφ’ἑαυτὰ · γίνονται ρ. ἄφελε τὰ ϛ ἐφ’ἑαυτὰ, ἅ ἐστι λϛ · γίγνονται λοιπὰ ξδ. τούτων πλευρὰ γίνεται η · τοσούτου ἔσται ἡ Α𐅵 κάθετος. καὶ τὰ ιβ ἐπὶ τὰ η · γίνονται Ϛ. τούτων τὸ ἥμισυ. γίνονται μη · τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.

δ. τῶν δὲ ἀνισοσκελῶν τριγώνων τὰς γωνίας δεῖ ἐπισκέψασθαι ὅπως τὰς ἀγομένας καθέτους ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς πλευρὰς εἰδῶμεν, ἤτοι ἐντὸς τῶν γωνιῶν πίπτουσιν ἢ ἐκτός · ἔστω οὖν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεισῶν μοιρῶν. καὶ δέον ἐστὶν ἐπισκέψασθαι εἰ τύχοι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα ἢ ὀξεῖα · εἰ μὲν οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνοις, δῆλον ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία · εἰ δὲ ἔλασσον, ὀξεῖα · εἰ δὲ μεῖζον, δῆλον ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. ὑποκείσθω δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἔλασσον τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. εἰ γὰρ οὐκ ἔσται ὀξεῖα, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα. ὀρθὴ μὲν οὖν οὔκ ἐστιν · ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον εἶναι τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνοις · οὐκ ἔστιν δέ · οὐκ ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. οὐ δὲ μὴν ἀμβλεῖά ἐστιν · ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον εἶναι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνων · οὐκ ἔστιν δέ · οὐ δὲ ἄρα ἀμβλεῖα ἐστιν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐ δὲ ὀρθή · ὀξεῖα ἄρα ἐστίν. ὁμοίως δὴ ἐπιλογιούμεθα καὶ ἐὰν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον ᾖ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων, ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία.

ε. ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. φανερὸν […] ὅτι ὀξεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία · τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλασσον ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετραγώνων. κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α𐅵. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β𐅵 ἔλασσόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ὡς […] δέδεικται. καὶ ἔστι τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ μονάδων τξε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων σκε · λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β𐅵 μονάδων ρμ · τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β𐅵 ἔσται μονάδων ο. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ · ἡ ἄρα Β𐅵 ἔσται μονάδων ε. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α𐅵 𐅵Β · καὶ ἔστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ρξθ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Β𐅵 μονάδων κε · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α𐅵 ἔσται μονάδων ρμδ. αὐτὴ ἄρα ἡ Α𐅵 ἔσται μονάδων ιβ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ιδ · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓΑ𐅵 ἔσται μονάδων ρξη. καὶ ἔστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιον · τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔσται μονάδων πδ. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται τοιαύτη · τὰ ιγ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρξθ · καὶ τὰ ιδ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρϚ · καὶ τὰ ιε ἐφ’ἑαυτὰ · γίγνεται σκε · σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρϚ · γίγνεται τξε · ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ σκε · γίγνεται λοιπὰ ρμ · τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται ο · παράβαλε παρὰ τὸν ιδ · γίγνεται ε · καὶ τὰ ιγ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρξθ. ἀφ’ὧν ἄφελε τὰ ε ἐφ’ἐαυτά · λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ · τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ιδ · γίγνεται ρξη · τούτων τὸ ἥμισυ πδ · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

ϛ. ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ια, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων κ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ ἐπ’αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ Α𐅵. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ𐅵. καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων υ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ μονάδων ρκα, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ ρξθ · τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ𐅵 μονάδων ρι. τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β𐅵 ἔστιν μονάδων νε. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ια · ἡ ἄρα Β𐅵 ἔσται μονάδων ε. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ιγ · ἡ ἄρα Α𐅵 ἔσται μονάδων ιβ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ια · τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α𐅵 ΒΓ ἔσται μονάδων ρλβ. αὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ Γ τριγώνου. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔσται μονάδων ξ ϛ. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται αὕτη. τὰ ιγ ἐφ’ἑαυτὰ γίγνεται ρξθ · καὶ τὰ ια ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρκα · καὶ τὰ κ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται υ. σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρκα · γίγνεται ς · ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν υ · λοιπὰ ρι. τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται νε. παράβαλε παρὰ τὸν ια · γίγνεται ε. καὶ τὰ ιγ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρξθ. ἄφελε τὰ ε ἐφ’ἑαυτά · λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ. ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ια · γίγνεται ρλβ. τούτων τὸ ἥμισυ ξϛ · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. μέχρι μὲν οὖν τούτου ἐπιλογιζόμενοι τὰς γεωμετρικὰς ἀποδείξεις ἐποιησάμεθα, ἑξῆς δὲ κατὰ ἀνάλυσιν διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν συνθέσεως τὰς μετρήσεις ποιησόμεθα.

ζ. ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τοῦ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ τετράγωνον πλευρὰ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως ὅτε ἀπὸ ΑΒ τετράγωνος πρὸς τὸν ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενον ἀριθμὸν καὶ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνος πρὸς τὸν ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον. ἐπεὶ οὖν τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔχουσιν, ἔσται ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνῳ · ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ τετράγωνος ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ ἴσος ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἐφ’ἑαυτόν. τοῦ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός.

η. ἔστι δὲ καθολικὴ μέθοδος ὥστε τριῶν πλευρῶν δοθεισῶν οἱουδηποτοῦν τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν χωρὶς καθέτου · οἷον ἔστωσαν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ μονάδων ζ, η, θ. σύνθες τὰ ζ καὶ τὰ η καὶ τὰ θ · γίγνεται κδ. τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ · γίγνεται ιβ. ἄφελε τὰς ζ μονάδας · λοιπαὶ ε. πάλιν ἄφελε ἀπὸ τῶν ιβ τὰς η · λοιπαὶ δ. καὶ ἔτι τὰς θ · λοιπαὶ γ. ποίησον τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ε · γίγνονται ξ. ταῦτα ἐπὶ τὸν δ · γίγνονται σμ · ταῦτα ἐπὶ τὸν γ · γίγνεται ψκ · τούτων λαβὲ πλευρὰν καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ἐπεὶ οὖν αἱ ψκ ῥητὴν τὴν πλευρὰν οὐκ ἔχουσι, ληψόμεθα μετὰ διαφόρου ἐλαχίστου τὴν πλευρὰν οὕτως · ἐπεὶ ὁ συνεγγίζων τῷ ψκ τετράγωνός ἐστιν ὁ ψκθ καὶ πλευρὰν ἔχει τὸν κζ, μέρισον τὰς ψκ εἰς τὸν κζ · γίγνεται κϛ καὶ τρίτα δύο · πρόσθες τὰς κζ · γίγνεται νγ τρίτα δύο. τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται κϚϚγʹ. ἔσται ἄρα τοῦ ψκ ἡ πλευρὰ ἔγγιστα τὰ κϚϚγʹ. τὰ γὰρ κϚϚγʹ ἐφ’ἑαυτὰ γίγνεται ψκ λϛʹ · ὥστε τὸ διάφορον μονάδος ἐστὶ μόριον λϛʹ. ἐὰν δὲ βουλώμεθα ἐν ἐλάσσονι μορίῳ τοῦ λϛʹ τὴν διαφορὰν γίγνεσθαι, ἀντὶ τοῦ ψκθ τάξομεν τὰ νῦν εὑρεθέντα ψκ καὶ λϛʹ, καὶ ταὐτὰ ποιήσαντες εὑρήσομεν πολλῷ ἐλάττονα τοῦ λϛʹ τὴν διαφορὰν γιγνομένην. ἡ δὲ γεωμετρικὴ τούτου ἀπόδειξίς ἐστιν ἥδε · τριγώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. δυνατὸν μὲν οὖν ἐστιν ἀγαγόντα μίαν κάθετον καὶ πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν, δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι. ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΝΓ καὶ ἔστω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ δοθεῖσα · εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ 𐅵ΕΖ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, 𐅵Η, ΕΗ, ΖΗ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ ΖΗ τοῦ ΑΓΗ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ 𐅵Η τοῦ ΑΒΗ τριγώνου · τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου καὶ τῆς ΕΗ, τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ 𐅵ΕΖ κύκλου, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἡ ΓΒ, καὶ τῇ Α𐅵 ἴση κείσθω ἡ ΒΘ · ἡ ἄρα ΓΒΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν Α𐅵 τῇ ΑΖ, τὴν δὲ 𐅵Β τῇ ΒΕ, τὴν δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ πλευρά ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ · ἔσται ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἐφ’ἑαυτὸ γενόμενον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ. ἤχθω τῇ μὲν ΓΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΒΛ τετράπλευρον · αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗΒ, ΓΛΒ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΗΒ, ΑΗ𐅵 δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ δίχα τετμῆσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας ταῖς ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ καὶ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΗΒ, ΑΗ𐅵 ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΗΓ, 𐅵ΗΒ καὶ τὰς πάσας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗ𐅵 τῇ ὑπὸ Γ ΛΒ. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ Α𐅵Η ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΛ ἴση · ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ𐅵 τρίγωνον τῷ ΓΒΛ τριγώνῳ. ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΒΛ, ἡ Α𐅵 πρὸς 𐅵Η, τουτέστιν ἡ ΒΘ πρὸς ΕΗ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΛ πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΒΛ τῇ ΕΗ, καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘΘΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΚ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ · ἐν ὀρθογωνίῳ γὰρ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ · ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὗ πλευρὰ ἦν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἑκάστη τῶν ΓΘ, ΘΒ, ΒΕ, ΓΕ · ἡ μὲν γὰρ ΓΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἡ δὲ ΒΘ ἡ ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΓΒ, ἡ δὲ ΒΕ ἡ ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΓ, ἡ δὲ ΕΓ ἡ ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΒ, ἐπειδήπερ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΕΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΑΖ, ἐπεὶ καὶ τῇ Α𐅵 ἐστὶν ἴση. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. συντεθήσεται δὴ οὕτως · ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ΑΓ μονάδων ιε. σύνθες τὰ ιγ καὶ ιδ καὶ ιε · καὶ γίγνεται μβ. ὧν ἥμισυ · γίγνεται κα. ὕφελε τὰς ιγ · λοιπαὶ η · εἶτα τὰς ιδ · λοιπαὶ ζ · καὶ ἔτι τὰς ιε · λοιπαὶ ϛ. τὰ κα ἐπὶ τὰ η, καὶ τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ζ, καὶ ἔτι τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ϛ · συνάγονται ζνϛ · τούτων πλευρὰ πδ. τοσούτου ἔσται τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν.

θ. ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου, ἔστω μὴ ῥητῆς ὑπαρχούσης τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων η, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ι, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιβ · καὶ ἤχθω κάθετος ἡ Α𐅵. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ὀξυγωνίου εἰρημένοις ἔσται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΒ𐅵 μονάδων κ · ἡ ἄρα Β𐅵 ἔσται μονάδος α, καὶ τὸ ἀπ’αὐτῆς ἄρα μονάδος α. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ξδ · λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α𐅵 ἔσται μονάδων ξγ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ μονάδων ρ · τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Α𐅵 ἔσται μονάδων ϛτ. τούτου δὲ πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ ΒΓ Α𐅵 · ὁ ὑπὸ τῶν ΒΓ Α𐅵 ἄρα ἐφ’ἑαυτὸν ἔσται μονάδων ϛτ. τὸ ἄρα ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΒΓ Α𐅵 ἐφ’ἑαυτὸ μονάδων αφοε · ὧν γὰρ τετραγώνων αἱ πλευραὶ διπλασίονες ἀλλήλων εἰσίν, τὰ ἀπ’αὐτῶν τετραπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ἡμίσεων. τὸ δὲ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ𐅵 τὸ ἐμβαδόν ἐστι τοῦ τριγώνου · ἔστιν ἄρα τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδὸν δυνάμει αφοε. ἔξεστι δὲ τῶν ξγ τὴν πλευρὰν σύνεγγυς λαβόντα εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ὡς ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου. τῶν δὲ ξγ σύνεγγύς ἐστιν ἡ πλευρὰ ζϚδʹ ηʹ ιϛʹ. δεήσει οὖν τοσούτου ὑποστησάμενον τὴν κάθετον τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν · ἔστι δὲ λθϚηʹ ιϛʹ.

ι. ἔστω τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ𐅵 ὀρθὰς ἔχον τὰς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίας, καὶ ἔστω ἡ μὲν Α𐅵 μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ ια, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ιβ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ ἔτι τὴν Γ𐅵. τετμήσθω δίχα ἡ Γ𐅵 κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΖΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Α𐅵 ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 𐅵Ε τῇ ΕΓ, ἴση ἄρα καὶ ἡ 𐅵Ζ τῇ ΗΓ. κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ Α𐅵 ΒΗ · συναμφότερος συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΖ ΒΗ συναμφοτέρῳ τῇ Α𐅵 ΒΓ ἴση ἐστίν. δοθεῖσα δέ ἐστιν συναμφότερος ἡ Α𐅵 ΒΓ. ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα αὐτῶν · δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΖ ΒΗ, τουτέστι δύο αἱ ΒΗ καὶ ἡ ΒΗ ἄρα ἐστὶ δοθεῖσα. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ · δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ 𐅵Ε τρίγωνον τῷ ΕΗΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΗΕ𐅵 πεντάπλευρον · ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΑΒΓ𐅵 τραπεζίῳ ἴσον ἐστι. δοθὲν δὲ ἐδείχθη τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ𐅵 ἡ δὲ Γ𐅵 εὑρεθήσεται οὕτως · ἤχθω κάθετος ἡ 𐅵Θ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ Α𐅵, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ 𐅵Θ · ἴση γάρ ἐστι τῇ ΑΒ · καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Γ𐅵. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · σύνθες τὰ ϛ καὶ τὰ ια · γίγνεται ιζ. τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται ηϚ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ · γίγνεται ρβ · τοσούτου ἄρα τὸ ἐμβαδόν. ἡ δὲ 𐅵Γ οὕτως · ὕφελε ἀπὸ τῶν ια τὰ ϛ · καὶ γίγνεται λοιπὰ ε. ταῦτα ἐφ’ἑαυτὰ · γίγνεται κε · καὶ τὰ ιβ ἐφ’ἑαυτὰ · γίγνεται ρμδ. πρόσθες τὰ κε · γίγνεται ρξθ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιγ · τοσούτων ἔσται ἡ 𐅵Γ.

ια. ἔστω τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ𐅵 ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ Γ𐅵, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔστω μονάδων ιγ, ἡ δὲ Α𐅵 μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιϛ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον. ἤχθω τῇ Γ𐅵 παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΖ · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ𐅵. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Α𐅵 τῇ ΕΓ, ἡ δὲ Γ𐅵 τῇ ΑΕ · ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΑΕ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΕΓ μονάδων ϛ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεῖσαν, ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ κάθετος δοθεῖσα · καὶ ἔσται μονάδων ιβ, ὡς προδέδεικται. τετμήσθωσαν δὴ δίχα αἱ ΑΒ, Γ𐅵 τοῖς Η, Θ, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΚΗΛ, ΜΘΝ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ΑΚΗ τρίγωνον τῷ ΒΗΛ, τὸ δὲ 𐅵ΜΘ τῷ ΓΝΘ ὥστε κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΗΛΝΘ𐅵 ἑξαπλεύρου ἴσον ἔσται τὸ ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ𐅵 τραπεζίῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ 𐅵Μ τῇ ΓΝ, αἱ ἄρα ΑΚ 𐅵Μ ἴσαι εἰσὶν ταῖς ΒΛ ΝΓ. κοινῶν προστεθεισῶν τῶν Α𐅵 ΛΝ ἔσται συναμφότερος ἡ ΚΜΛΝ, τουτέστι δύο αἱ ΚΜ, συναμφοτέρῳ τῇ Α𐅵 ΒΓ ἴση. καὶ ἔστι δοθεῖσα συναμφότερος ἡ Α𐅵 ΒΓ · ἐστι γὰρ μονάδων κβ · ἔσονται ἄρα καὶ αἱ δύο αἱ ΚΜ μονάδων κβ · αὐτὴ ἄρα ἡ ΚΜ μονάδων ια. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ · ἴση γάρ ἐστι τῇ Α Ζ · τὸ ἄρα ΚΛΝΜ παραλληλόγραμμον ἔσται μονάδων ρλβ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΑΒΓ𐅵 τραπεζίῳ · ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ𐅵 τραπέζιον μονάδων ρλβ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἄφελε ἀπὸ τῶν ιϛ τὰς ϛ · γίγνονται λοιπαὶ ι. τούτων τὸ ἥμισυ ε. καὶ ταῦτα ἐφ’ἑαυτὰ · γίγνονται κε · καὶ τὰ ιγ ἐφ’ἑαυτὰ · γίγνονται ρξθ. ἄφελε τὰ κε · λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ · ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ. τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως · σύνθες τὰ ιϛ καὶ τὰ ϛ · γίνονται κβ · ὧν ἥμισυ · γίγνονται ια · ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον · γίγνεται ρλβ · τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

ιβ. ἔστω τραπέζιον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ𐅵 ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ𐅵 μονάδων κ, ἡ δὲ Α𐅵 μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων κζ · εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω τῇ Γ𐅵 παράλληλος ἡ ΑΕ καὶ κάθετος ἡ ΑΖ. ἡ μὲν ἄρα ΑΕ ἔσται μονάδων κ · ἡ δὲ ΓΕ μονάδων ϛ · λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων κα · ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΕ ὀξυγώνιον τρίγωνον εἶναι ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος μονάδων ιβ. δίχα δὴ τμηθεισῶν τῶν ΑΒ Γ 𐅵 τοῖς Η, Θ καὶ καθέτων ἀχθεισῶν τῶν ΚΗΛ ΜΘΝ ὁμοίως τῷ ἐπάνω δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν ΑΒΓ 𐅵 τραπέζιον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΛΜΝ παραλληλογράμμῳ, συναμφότερος δὲ ἡ ΒΓ Α 𐅵 διπλῆ ἐστι τῆς ΚΜ · καὶ ἔσται ἡ ΚΜ μονάδων ιϚϚ · ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΖ · τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρη. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἄφελε ἀπὸ τῶν κζ τὰ ϛ · λοιπὰ γίγνεται κα. καὶ τριγώνου ὀξυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ καὶ κα καὶ κ εὑρήσθω ἡ ΑΖ κάθετος · ἔστιν δὲ μονάδων ιβ, ὡς ἐμάθομεν · καὶ σύνθες κζ καὶ ϛ · γίγνεται τὸ ἥμισυ ιϚϚ · ταῦτα ἐπὶ ιβ · γίγνεται ρη. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

ιγ. ἔστω τραπέζιον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ𐅵 ἔχον ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ𐅵 κ, ἠ δὲ ΑΓ ϛ, ἡ δὲ Β𐅵 μονάδων ιζ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ καὶ τῇ Γ𐅵 παράλληλος ἡ ΑΖ · ἔσται ἄρα ἡ μὲν ΑΖ μονάδων κ, ἡ δὲ Ζ𐅵 μονάδων ϛ · καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ μονάδων ια · ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον εἶναι ἔσται ἡ ΑΕ μονάδων ιβ. καὶ ὁμοίως τοῖς ἐπάνω δειχθήσεται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Β𐅵ΑΓ καὶ τῆς ΑΕ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ𐅵 τραπεζίου · τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρλη. συντεθήσεται δὲ οὕτως · ἄφελε ἀπὸ τῶν ιζ τὰ ϛ · λοιπὰ ια · καὶ τριγώνου ἀμβλυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ, ια, κ εὑρήσθω ἡ κάθετος · γίγνεται ιβ · καὶ σύνθες τὰ ιζ καὶ ϛ · γίγνεται κγ · τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιαϚ · ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ · γίγνεται ρλη · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου.

ιδ · ὁ δὲ ῥόμβος καὶ τὸ ῥομβοειδὲς τὴν μέτρησιν φανερὰν ἔχουσιν. δεῖ γὰρ ἑκατέρου αὐτῶν τὰς πλευρὰς δοθείσας εἶναι καὶ μίαν διάμετρον. ὧν δοθέντων ὁ μὲν ῥόμβος ἔσται ἐκ δύο ἰσοσκελῶν τριγώνων συγκείμενος, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἐκ δύο τριγώνων ἤτοι ὀξυγωνίων ἢ ἀμβλυγωνίων, καὶ διὰ τοῦτο δοθήσεται αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. τὰ μὲν οὖν ἀποδειχθέντα τετράπλευρα μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ παράλληλον εἶχε · τὸ δὲ παρὸν τὸ Α ΒΓ𐅵 τὴν μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίαν ἐχέτω ὀρθὴν, μηδεμίαν δὲ πλευρὰν μηδεμιᾷ παράλληλο ν καὶ ἔτι ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν, τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ Β Γ μονάδων ι, τὴν δὲ Γ𐅵 μονάδων κ, τὴν δὲ 𐅵Α μονάδων ιζ · δεῖξαι αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐπεζεύχθω ἡ Β𐅵 · καὶ ἐπ’αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΑΕ. ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ Γ𐅵 δοθεῖσά ἐστιν καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Γ, δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΓ𐅵 τρίγωνον · καὶ ἔτι τὸ ἀπὸ τῆς Β𐅵 ἔσται δοθέν · ἔστι γὰρ μονάδων φ · ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέν · δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ Β𐅵 · καὶ ἔστι μείζονα τοῦ ἀπὸ τῆς Α𐅵. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὐπὸ ΑΒ𐅵 · τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ Β𐅵 τοῦ ἀπὸ τῆς Α𐅵 μείζονά ἐστιν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν 𐅵Β ΒΕ. δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν 𐅵Β ΒΕ · ὥστε καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν 𐅵ΒΒΕ δοθέν ἐστι · καὶ ἔστι πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Β𐅵 ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ 𐅵Β ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ · καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ Β𐅵 · δοθὲν ἄρα κα τὸ ἀπὸ ΒΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΕΑ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Β𐅵 · καὶ ἔστιν αὐτοῦ πλευρὰ τὸ ὑπὸ Β𐅵 ΑΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ Β𐅵 ΑΕ. καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ𐅵 τριγώνου · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒ𐅵 τρίγωνον · ἀλλὰ καὶ τὸ ΒΓ𐅵 · ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ𐅵 τετράπλευρον δοθὲν ἔσται. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · τὰ ι ἐπὶ τὰ κ · γίγνεται ς. καὶ τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται ρ. καὶ πάλιν τὰ ι ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρ. καὶ τὰ κ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται υ. σύνθες · γίγνεται φ. καὶ τὰ ιγ ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρξθ. ταῦτα μετὰ τῶν φ γίγνεται χξθ · ἄφελε τὰ ιζ ἐφ’ἑαυτά · λοιπαὶ τπ · τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρ · ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται μ ϛρ. ταῦτα παρὰ τὸν φ · γίγνεται οβ έ · ἄφελε ταῦτα ἀπὸ τῶν ρξθ · γίγνονται λοιπαὶ ϚϚεʹιʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸν φ · γίγνεται μ ηυ. τούτων πλευρὰ γίγνεται σκ · τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρι · τοσούτου ἔσται τοῦ ΑΒ𐅵 τὸ ἐμβαδόν. ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ𐅵 μονάδων ρ · τοῦ ἄρα ΑΒΓ𐅵 τετραπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται σι. ὅτι δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ𐅵 δοθεῖσά ἐστιν, δείξομεν ἑξῆς.

ιε. ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓ𐅵 δοθεῖσαν ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΒΓ𐅵 γωνίαν. ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ𐅵. ἤχθω γὰρ ἐπὶ μὲν τὴν Γ𐅵 κάθετος ἡ ΑΖ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΒΗ, ἐπὶ δὲ τὴν Β𐅵 ἡ ΑΕ. φανερὸν δὴ, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ Β𐅵 καὶ ἡ ἐπ’αὐτὴν κάθετος ἡ ΑΕ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΒΑ, Α𐅵 δοθεῖσαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒ𐅵 τῇ ὑπὸ ΒΘΑ, ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΓ𐅵 ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΘ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 𐅵Γ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΘ. λόγος δὲ τῆς Γ𐅵 πρὸς ΓΒ δοθείς · λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΘ δοθείς. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΕ · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσι · δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΕ, ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν, δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘΕ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΘΕ · ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Ε, Η. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ · ὥστε καὶ ἡ ΑΗ · ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΖ · ἴση γάρ ἐστι τῇ ΒΓ · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ δοθεῖσά ἐστιν. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως · ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι, ἡ δὲ Γ𐅵 μονάδων κ, ἡ δὲ 𐅵Α μονάδων ιζ. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ἐμβαδοῦ εἰρημένοις ἔσται ἡ μὲν ΑΕ κάθετος δυνάμει ϚϚέί, ἡ δὲ ΒΕ δυνάμει οβ έ, ἡ δὲ Β𐅵 δυνάμει φ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Γ𐅵 ἐστὶ μονάδων κ, ἡ δὲ ΓΒ μονάδων ι, τὰ ἄρα ἀπὸ τούτων μονάδων υ καὶ μονάδων ρ. ποίησον οὖν ὡς τὰ υ πρὸς ρ, τὰ Ϛ δ πρὸς τί · ἔσται πρὸς κδέ · τοσούτου ἔσται τὸ ἀπὸ ΕΘ. καὶ πολλα πλασιάσαντες τὰ οβ έ ἐπὶ τὰ κδ έ καὶ τῶν γενομένων τὴν πλευρὰν λαβόντες καὶ διπλασιάσαντες ἃ γίγνεται τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΕ ΕΘ προσθήσομεν τοῖς ἀπὸ ΒΕ, ΕΘ, τουτέστι τοῖς οβ έ καὶ κδ έ συντεθεῖσιν. καὶ ἕξομεν τὴν ΒΘ δυνάμει ρπ. καὶ σύνθες τὰ Ϛ Ϛ έ ί καὶ κδ έ · γίγνεται ρκα. καὶ πολλαπλασίασον τὰ ρπ ἐπὶ τὰ κδ έ · γίγνεται δυνάμει δτνϛ. μέρισον εἰς τὸν ρκα · γίγνεται λϛ. καὶ ἄφελε ἀπὸ δυνάμει ρκα δυνάμει λϛ λοιπὰ δυνάμει κε, ἅ ἐστι μήκει ε. πρόσθες ὅσων ἐστὶν ἡ ΒΓ · ἔστι δὲ ι · γίγνεται ιε · τοσούτου ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος. καὶ ἡ μὲν ΕΘ δυνάμει κδέ, ἡ δὲ ΗΘ μήκει ϛ, ἡ δὲ ΑΘ μήκει ια. ρκθ καὶ ρξ · ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ρξθ · λοιπὰ λθ καὶ δ. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ρξδ · γίγνεται ϛυ · ὧν πλευρὰ γίγνεται π · τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται μ. ἔσται τοῦ ΑΒ𐅵 τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων μ. ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ𐅵 ὁμοίως μ · ὅλου ἄρα τοῦ ΑΒΓ𐅵 τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων π, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ὅσα μὲν οὖν ἔδει ἐπίτε τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων τεταγμένων εἰπεῖν, προγέγραπται · ἐὰν δὲ δέῃ καὶ τετραπλεύρου τυχόντος τὰς πλευρὰς λαβόντας τὸ ἐμβαδὸν εἰπεῖν, δεήσει καὶ μίαν διαγώνιον λαβεῖν αὐτοῦ, ὥστε διαιρεθὲν αὐτὸ εἰς δύο τρίγωνα ἔχειν τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐμάθομεν γὰρ τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τῇ καθολικῇ μεθόδῳ. ἄνευ δὲ μιᾶς διαγωνίου ἀδύνατον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραπλεύρου εἰπεῖν. τῶν γὰρ αὐτῶν πλευρῶν δοθεισῶν τοῦ τετραπλεύρου μεταπίπτει τὸ ἐμβαδὸν διαρομβουμένου αὐτοῦ καὶ παρασπωμένου ἐν ταῖς αὐταῖς πλευραῖς. καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω, ἑξῆς δὲ περὶ τῶν ἰσοπλεύρωντε καὶ ἰσογωνίων εὐθυγράμμων γράψομεν ἄχρι τοῦ δωδεκαγώνου, ἐπειδὴ τοῦτο συνεγγίζει μᾶλλον τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ.

ιζ. ἔστω δὲ πρότερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη ἐστὶ πλευρὰ μονάδων ι. καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ Α𐅵. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΑΒ, τῆς Β𐅵, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ Β𐅵. ὥστε τριπλάσιον τὸ ἀπὸ Α𐅵 τοῦ ἀπὸ 𐅵Β. τοῦ δὲ ἀπὸ 𐅵Β τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἐπίτριτον ἄρα ἔσται τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ Α𐅵. τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Α𐅵 λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ, καὶ πάντα ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΙ, τουτέστιν τότε ἀπὸ ΒΓ ἐφ’ἑαυτὸ καὶ τὸ ἀπὸ Α𐅵 ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ δυνάμεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α𐅵 λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ, τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ιβ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α𐅵 τὸ ὑπὸ Α𐅵 ΒΓ ἐστὶν ἐφ’ἑαυτό, τουτέστι δύο τρίγωνα ἐφ’ἑαυτά. ἡ ἄρα ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς δύο τρίγωνα ἐφ’ἑαυτὰ λόγον ἔχει, ὃν ιϛ πρὸς ιβ δύο δὲ τρίγωνα ἐφ’ἑαυτὰ ἑνὸς τριγώνου ἐφ’ἑαυτό ἐστιν τετραπλάσια. ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς ἓν τρίγωνον ἐφ’ἑαυτὸ λόγον ἔχει, ὃν ιϛ πρὸς γ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις, ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΓ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐφ’ἑαυτό · ὥστε καὶ αὐτὸ τὸ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. τὰ ι ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται μ · τούτων λαβὲ γ. γίγνεται αωοε. τούτων πλευρὰν λαβέ · καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ῥητὴν πλευρὰν, εἰλήφθω ὡς ἐμάθομεν ἔγγιστα μετὰ διαφόρου. καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν μγ γʹ. λῆμμα. ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Γ, δύο δὲ πέμπτων ὀρθῆς τὴν πρὸς τῷ Α. δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ 𐅵, καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ Γ𐅵, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Β𐅵. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ τῇ Β𐅵, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒ𐅵. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνία τριῶν πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς διὰ τὸ τῆν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν δύο πέμπτων εἶναι · ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒ𐅵 γωνία ἓξ πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς · πενταγώνου ἄρα ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒ𐅵. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β𐅵 · τῆς ἄρα Α𐅵 ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ. καὶ ἔστι τῆς Α𐅵 ἡμίσεια ἡ ΑΓ · τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ.

ιη. ἔστω πεντάγωνον ἰσόπλευρόντε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ𐅵Ε. οὗ ἐκάστη πλευρὰ ἔστω μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, Ζ𐅵 καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν Γ𐅵 ἡ ΖΗ. ἔσται ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖ𐅵 γωνία τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς · ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΖΗ δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΖ · τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΖ ΖΗ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἀλλ’ἐπεὶ ἐν ἀριθμοῖς οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον τετραγώνου πενταπλάσιον, ὡς σύνεγγυς δεῖ λαβεῖν · ἔστι δὲ ὁ πα πρὸς ιϛ. συναμφοτέρος ἄρα ὁ ΓΖ ΖΗ λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΖΗ, ὃν θ πρὸς δ. καὶ διελόντι ὁ ΓΖ πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει ὃν ε πρὸς δ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὃν κε πρὸς ιϛ. καὶ λοιπὸς τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὃν θ πρὸς ιϛ · τῆς ἄρα ΓΗ πρὸς ΗΖ λόγος, ὃν γ πρὸς δ · ὥστε τῆς Γ𐅵 πρὸς ΖΞ λόγος ἐστὶν, ὃν ϛ πρὸς δ, τουτέστιν ὃν γ πρὸς β · τὸ ἄρα ἀπὸ Γ𐅵 πρὸς τὸ ὑπὸ Γ𐅵 ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν γ πρὸς β. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ τῆς Γ𐅵 · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ𐅵 ΖΗ. καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΓΖ𐅵 τριγώνου · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΖ𐅵 τρίγωνον. καὶ ἔστι πέμπτον μέρος τοῦ ΑΒΓ𐅵Ε πενταγώνου · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ πεντάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως · τὰ ι ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρ. τούτων τὸ τρίτον · γίνεται λγ γʹ. ταῦτα πεντάκις · γίγνεται ρξϛ β. τοσού του ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου ὡς ἔγγιστα · ἐὰν δὲ ἕτερον τετράγωνον ἑτέρου τετραγώνου πενταπλάσιον μᾶλλον ἐγγίζον λάβωμεν, ἀκριβέστερον εὑρήσομεν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.

ιθ. ἔστω ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ𐅵ΕΖ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ μονάδας ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, Η𐅵. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ𐅵 ἑκατέρᾳ τῶν ΓΗ, Η𐅵 · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗ𐅵 τρίγωνον. καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἡ πλευρὰ δοθεῖσα · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΗ𐅵 τρίγωνον. καὶ ἔστιν ἕκτον μέρος τοῦ ἑξαγώνου · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ𐅵ΕΖ ἑξάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως · τὰ ι ἐφ’ἑαυτά · γίνεται ρ. ταῦτα ἐφ’ἑαυτά · γίγνονται μ. τούτων τὸ τέταρτον · γίγνεται βφ. ταῦτα εἰκοσάκι καὶ ἑπτάκι · γίγνεται μ ζφ. τούτων λαβὲ πλευρὰν ἔγγιστα · γίγνεται σνθ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου. λῆμμα. ἐὰν εἰς κύκλον ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν τοῦ ἑπταγώνου πλευρὰν λόγον ἔχει, ὃν η πρὸς ζ. ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΒΓ περὶ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΒΓ. τουτέστιν ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου · καὶ κάθετος ἐπ’αὐτὴν ἡ Α𐅵. ἔσται ἄρα ἡ Α𐅵 ὡς ἔγγιστα ἴση τῇ τοῦ ἑπταγώνου πλευρᾷ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β𐅵, ΑΓ · ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α𐅵 τοῦ ἀπὸ τῆς 𐅵Β. λόγος ἄρα τῆς Α𐅵 πρὸς 𐅵Β δυνάμει ὡς ἔγγιστα ὃ τοῦ μθ πρὸς ιϛ · καὶ μήκει λόγος τῆς Α𐅵 πρὸς 𐅵Β, ὃν ζ πρὸς δ. καὶ ἔστι τῆς Β𐅵 διπλῆ ἡ ΒΓ · τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς 𐅵Α λόγος ἐστὶν, ὃν ἔχει τὰ η πρὸς ζ.

κ. ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ𐅵ΕΖΗ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Θ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ 𐅵Θ, ΘΕ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν 𐅵Ε ἡ ΘΚ. λόγος ἄρα τῆς Θ𐅵 πρὸς 𐅵Ε, ὃν η πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὴν 𐅵Κ, ὃν η πρὸς γϚ, τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ζ. ὥστε τῆς ΘΚ πρὸς Κ𐅵 λόγος ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν ιδ γʹ πρὸς τὸν ζ, τουτέστιν ὃν μγ πρὸς κα. ὥστε καὶ τῆς 𐅵Ε πρὸς ΚΘ λόγος, ὃν μβ πρὸς μγ, τουτέστιν ὃν πδ πρὸς πϛ. καὶ τοῦ ἀπὸ 𐅵Ε ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ 𐅵Ε ΚΘ λόγος ὁ αὐτός · ὥστε τοῦ ἀπὸ 𐅵Ε πρὸς τὸ 𐅵ΘΕ τρίγωνον λόγος, ὃν πδ πρὸς μγ. τοῦ δὲ τριγώνου πρὸς τὸ ἑπτάγωνον λόγος ὁ τοῦ α πρὸς ζ · καὶ τοῦ ἀπὸ 𐅵Ε ἄρα πρὸς τὸ ἑπτάγωνον ιβ πρὸς μγ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ 𐅵Ε δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑπτάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως · τὰ ι ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ μγ · γίγνεται δτ. τούτων τὸ ιβʹ · γίγνεται τνη γʹ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑπταγώνου.

κα. ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ𐅵ΕΖΗΘ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Κ𐅵, ΚΕ καὶ ἐπὶ τὴν 𐅵Ε κάθετος ἤχθω ἡ ΚΛ. ἡ ἄρα ὑπὸ 𐅵ΚΕ γωνία ἡμίσους ἐστὶν ὀρθῆς · ὥστε τετάρτου ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ 𐅵ΚΛ. συνεστάτω δὴ αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ Κ𐅵Μ · τετάρτου ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ𐅵Μ · ἡμίσους ἄρα ἡ ὑπὸ 𐅵ΜΛ ἐστὶν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Λ · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 𐅵Λ τῇ ΜΛ. διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ 𐅵Μ τοῦ ἀπὸ ΜΛ · ἡ ἄρα 𐅵Μ πρὸς ΜΛ λόγον ἔχει ἔγγιστα, ὃν ιζ πρὸς ιβ. ἴση δέ ἐστιν ἡ ὃν ιβ πρὸς ιζ. πρὸς ἄρα τὸ ἐννάγωνον λόγον ἔχει, ὃν ιβ πρὸς οϚϚ, τουτέστιν ὃν κδ πρὸς ρνγ, τουτέστιν ὃν η πρὸς να. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ · δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐννάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως · τὰ ι ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ να · γίγνεται ερ. τούτων τὸ ηʹ · γίγνεται χλζϚ. τοσούτου ἔσται τοῦ ἐνναγώνου τὸ ἐμβαδόν.

κγ. ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρόντε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ𐅵ΕΖΗΘΚΛ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΜΖ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΜΝ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΜΖ γωνία δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς · ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΜΝ πέμπτου ἐστὶν ὀρθῆς. συνεστάτω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΜΕΞ · δύο ἄρα πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΝΞΕ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΝΞ · λόγος ἄρα τῆς ΕΞ πρὸς ΝΞ, ὃν ε πρὸς δ, πρὸς δὲ τὴν ΕΝ, ὃν ε πρὸς γ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΞ τῇ ΞΜ, ἡ δὲ ΕΝ τῇ ΝΖ · ἔσται ἄρα λόγος τῆς ΕΖ πρὸς ΜΝ, ὃν ϛ πρὸς θ, τουτέστιν ὃν β πρὸς γ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἂρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΜΝ, ὃν β πρὸς γ · ὥστε πρὸς τὸ ΕΖΜ τρίγωνον, ὃν β πρὸς αϚ · ὥστε πρὸς τὸ δεκάγωνον λόγον ἔχει, ὃν β πρὸς ιε. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δεκάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως. τὰ ι ἐφ’ἑαυτά · γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε · γίγνεται αφ. τούτων τὸ ἥμισυ · γίγνεται ψν · τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου.