3δοθέντων ἀπὸ μονάδος ὁποσωνοῦν ἀριθμῶν ἐφεξῆς εὑρεῖν, ὅσος ἐστὶν ὁ σύμπας. ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς α ἐφεξῆς οἱ β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι · ἢ δὴ ἄρτιόν ἐστι τὸ πλῆθος αὐτῶν ἢ περιττόν · ἔστω πρῶτον περιττόν · φανερὸν δή, ὅτι οἱ μὲν α ι διπλάσιοί εἰσι τοῦ ε, οἱ δὲ β θ τοῦ ε καὶ ἐφεξῆς ὅσον ἄρα ἐστὶ τὸ πλῆθος πάντων, τοσαυταπλασίων ἐστὶν ὁ σύμπας συντεθεὶς τοῦ ε · ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ι πρὸς τὴν μονάδα, ὁ σύμπας πρὸς τὸν ε · ὁ ἄρα ὑπὸ τοῦ ι καὶ ε ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς μονάδος καὶ συμπάντων, τουτέστι τῷ σύμπαντι ἀριθμῷ. εἰλήφθω δὴ ὁ ἐφεξῆς τῷ ι, ὁ κ · φανερὸν δὴ ὅτι ὁ κ διπλάσιός ἐστι τοῦ ε, ἴσος γάρ ἐστι τοῖς ι α · ἐπεὶ οὖν ὁ ι τὸν ε πολλαπλασιάσας ποιεῖ τὸν σύμπαντα, ἐὰν ἄρα τὸν κ πολλαπλασιάσας ποιήσῃ τινά, ὁ γενόμενος ἔσται τοῦ σύμπαντος διπλασίων. ὅταν ἄρα ἀπὸ μονάδος πλήθους ἀριθμῶν ἐφεξῆς τεθέντος ἐρωτηθῶμεν, πόσος ἐστὶν ὁ σύμπας συντεθείς, ἐὰν ὦσι περιττοὶ τὸ πλῆθος, πολλαπλασιάσομεν τὸν μέγιστον ἐπὶ τὸν ἐφεξῆς αὐτοῦ μείζονα καὶ τούτου γενομένου τὸ ἥμισυ λαβόντες ἕξομεν τὸν σύμπαντα · ὁμοίως δὴ ποιήσομεν, καὶ ἐὰν ἄρτιον τὸ πλῆθος · ἡ γὰρ αὐτὴ ἀπόδειξις · πῶς ἂν ἐκ μεθόδου προχειρότατα γινώσκοι τις ἀκριβῶς τὴν τῶν συντιθεμένων ἀπὸ μονάδος καὶ ἐφεξῆς ἀριθμῶν γινομένου ποσότητα, μέχρις οὗ δηλονότι ἡ ζήτησις γίνεται. ποιείτω οὕτω · πολλαπλασιαζέτω ἐφ’ἑαυτὸν τὸν ἀριθμόν, μέχρις οὗ ἡ ζήτησις γίνεται, καὶ ἀπὸ τοῦ γινομένου λαμβανέτω τὸ ἥμισυ · τούτῳ προστιθέτω καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ πολλαπλασιασθέντος ἀριθμοῦ καὶ τὸν γινόμενον γινωσκέτω εἶναι τὴν τῶν ἀριθμῶν σύνθεσιν ἀπὸ μονάδος, μέχρις οὐ ἡ ζήτησις γίνεται. οἷον ἔστω · γενέσθαι τὴν ζήτησιν ἀπὸ μονάδος ἄχρι τοῦ ιε, πόση ἐστὶν ἡ τῶν ἀριθμῶν κατὰ τὸ συνεχὲς σύνθεσις · τὸν ιε ἐφ’ἑαυτόν, γίνονται σκε · τούτου τὸ ἥμισυ, ριβϟ · πρόσθες τὸ ἥμισυ τῶν ιε ἤτοι ζϟ, γίνονται ὁμοῦ ρκ · τοσούτων ἡ ἀπὸ μονάδος ἄχρι τοῦ ιε τῶν κατὰ τὸ συνεχὲς ἀριθμῶν σύνθεσις. ἤ καὶ οὕτω · λαμβανέτω τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ μέχρις οὗ ἡ ζήτησις γίνεται καὶ προστιθέτω τούτῳ μονάδος ἥμισυ καὶ τὸν γινόμενον πολλαπλασιαζέτω μετὰ τοῦ ἀριθμοῦ, οὗτινος εἰλήφει τὸ ἥμισυ · καὶ τὸν γινόμενον αὖθις γινωσκέτω εἶναι τὴν τῶν ἀριθμῶν σύνθεσιν. οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ προυποδειχθέντος ἀριθμοῦ τοῦ ιε, τούτου τὸ ἥμισυ ζϟ · πρόσθες μονάδος ἥμισυ, γίνονται η · ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ιε, γίνονται ρκ. καὶ ἔστι καὶ οὕτως ἡ εὕρεσις ἀσφαλεστάτη, ὡς καὶ ἐπὶ τῆς προτέρας μεθόδου · ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἀριθμῶν ὅσων δήποτε ἐκκειμένων ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τὸν συγκεφαλαιούμενον ἐκ τῆς συνθέσεως αὐτῶν λαμβάνειν. ποίοι οὕτω · λάμβανε τούς ἄκρους τῶν ἐκκειμένων καὶ τούτων τὰ ἡμίση συντιθεὶς καὶ πολλαπλασιάζων ἐπὶ τὸν ἀριθμὸν τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ἕξεις τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως τῶν ὅλων. οἷον ἔστωσαν β, δ, Ϛ, η, ι, ιβ · τὰ ἡμίση τῶν ἄκρων ζ · ταῦτα πολλαπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν, εἰσὶ δὲ Ϛ, ποιοῦσι μβ. πάλιν ἔστωσαν α, δ, ζ, ι, ιγ, ιϚ, ιθ · τὰ ἡμίση τῶν ἄκρων ι καὶ τὸ πλῆθος ζ · δεκάκις οὖν τὰ ζ ποιοῦσιν ο · καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. α, α, α, γ, γ, ε, ε, ε, ζ, θ · ταῦτα τὸ δέκα στοιχεῖα συντιθέμενα ποιοῦσι μονάδας μ · φασὶν οὖν τὸν βασιλέα Λέοντα ταῦτα ἐκθεῖναι · καὶ ζητεῖν, ὡς ἂν μερισθῶσι δίχα ἤτοι εἰς πέντε καὶ πέντε στοιχεῖα καὶ ἑκατέρας μερίδος ἴσον εἶναι τὸν ἀριθμόν. ἀγνοοῦντες οὖν οἱ ἐξ ἐκείνου μέχρι τοῦ νῦν πάντες τὸν σκοπὸν ἐκείνου καὶ ζητοῦντες, ὥστε καὶ ἑκατέραν μερίδα μονάδων κ εἶναι ἤτοι τῆς ἡμισείας τῶν ὅλων ποσότητος, ἀνηνύτοις ἐδόκουν ἐπιχειρεῖν, ἀλλ’ἡμεῖς μὴ ἀγνοοῦντες τὸν ἐκείνου σκοπόν, ὅτι οὐκ ἀδύνατα προέθετο ζητεῖν, ἀλλὰ δυνατὰ μέν, πλὴν οὐ τοῖς πᾶσι πρόχειρα, μόνοις δὲ τοῖς τῶν ἀριθμητικῶν μαθημάτων ἐμπείροις, διείλομεν αὐτὰ δίχα οὕτως · ὥστε ἑκατέρας μερίδος ἀνὰ ε στοιχεῖα ἐχούσης τὸ μὲν πρῶτον εἶναι πολλαπλασιάζον, τὰ δὲ λοιπὰ πολλαπλασιαζόμενα ὑπ’αὐτοῦ, ὡς συνάγειν ἑκατέραν μερίδα μονάδας ξ · καὶ ἔχουσιν οὕτω · ἔστιν οὖν τῆς μιᾶς μερίδος ἡ ποσότης μονάδων ιβ, δηλαδὴ τῶν δ στοιχείων συντιθεμένων πλὴν τοῦ πρώτου, καὶ πενταπλασιαζόμενα ὑπὸ τοῦ πρώτου ποιοῦσιν ξ · ὁμοίως καὶ τῆς ἑτέρας μερίδος κ καὶ τριπλασιαζόμενα ὑπὸ τοῦ πρώτου ποιοῦσιν ξ. μέθοδος, δι’ἧς ἀστείως εὑρήσεις, οἷον ἀριθμὸν ἔχει τις ἐπὶ νοῦν. ἀριθμὸν ὁντιναοῦν τῶν ἀπὸ τοῦ ζ μέχρι τοῦ ρε ὑπό τινος ἐν διανοίᾳ εἰλημμένον ζητῶν εὑρεῖν ὁπόσος ἐστί, λήψῃ αὐτὸν μεθόδῳ τοιᾷδε · ἐπίταξον τῷ κατὰ διάνοιαν ἔχοντι τὸν ἀριθμὸν κρυφίως παρ’αὐτῷ ἐκβαλεῖν ἀπ’αὐτοῦ τὸν γ, ὁσάκις ἐγχωρεῖ, καὶ τὰ καταλειφθέντα κάτωθεν τοῦ γ, εἰ καταλειφθείη δηλονότι, ἐκφωνήσαντα εἰπεῖν πρὸς σέ · οὐ καὶ εἰπόντος σύ ἀνθ’ἑκάστης μονάδος τῶν καταλειφθεισῶν λάμβανε τῇ σῇ χειρὶ τὸν ο ἀριθμόν · οἷον εἰ μὲν μονὰς καταλειφθείη, τὸν ο μόνον, εἰ δὲ δυάς, αὐτὸν τὸν ο δὶς ἤτοι τὸν ρμ, εἰ δ’οὐδεμία μὲν καταλειφθείη, πάντως οὐ δὲ σὺ λήψῃ τι · τοῦτο δὲ φυλάξαι σε δεῖ καὶ ἐν ταῖς γενησομέναις λοιπαῖς ἀφαιρέσεσιν, ἐν αἷς δηλονότι μηδεμία μονὰς καταλειφθήσοιτο · εἶτα ἐπίταξον ἐκβαλεῖν ὁμοίως ἐξ αὐτοῦ καὶ τὸν ε, ὁσάκις ἐγχωρεῖ, καὶ τὰ κάτωθεν τούτου καταλειφθέντα εἰπεῖν, ὧν καὶ ἀνθ’ἑκάστης μονάδος λάμβανε τὸν κα, ἑνῶν καὶ τὸν ἀπὸ τούτου συναγόμενον τῷ προειλημμένῳ, εἰ τύχοι, τῇ σῇ χειρί · εἶτ’ἐπίταξον ὁμοίως ἐκβαλόντι καὶ τὸν ζ εἰπεῖν τὰ κάτωθεν τούτου καταλειπόμενα · ὧν καὶ ἑκάστης ἕνεκα μονάδος τὸν ιε λαβών καὶ οὓς ἔχεις πάντας συνθεὶς ἐκ τῆς ἐπισυναγωγῆς ἄφες, ὁσάκις δύνῃ, τὸν ρε, εἰ ἐγχωρεῖ δηλονότι, καὶ τὸν κάτωθεν τούτου καταλειφθέντα γίνωσκε τὸν ἀριθμὸν εἶναι, ὃν ζητεῖς, δηλαδὴ τὸν ἐν τῷ λογισμῷ τοῦ ζητήσαντος εὑρεῖν σε τοῦτον εἰλημμένον · ἰστέον μέντοι γε, ὡς εἰ μηδὲν ἐν μηδεμιᾷ ἀφαιρέσει καταλειφθείη, ὅτε οὐ δὲ σὺ λήψῃ πάντως τινὰ τῶν προρρηθέντων ἀριθμῶν, ὁ ρε ἐστὶν ὁ ὑπ’ἐκείνου ληφθείς. γενέσθω δὲ τὰ λεγόμενα καὶ δι’ὑποδείγματος σαφέστερα, καὶ ἔστω ὑφ’ἡμῶν ἐπὶ νοῦν εἰλημμένος ὁ κη · ὄν ἐπειδὴ βούλεταί τις εὑρεῖν τῇ ῥηθείσῃ μεθόδῳ χρώμενος, ἐπιτάττει τὸν γ ἐκβαλεῖν ἐξ αὐτοῦ ὁσάκις ἐγχωρεῖ · οὐ καὶ ἐννάκις ἐκβαλλομένου παρ’ἡμῶν ἐκφωνούντων πρὸς αὐτὸν καὶ τὴν λειπομένην μονάδα, οὗτος ἀντ’αὐτῆς τὸν ο τῇ χειρὶ λαμβάνει · εἶτα καὶ τοῦ ε ὁμοίως ἐκβαλλομένου πεντάκις ἀνθ’ἑκάστης τῶν καταλειπομένων τριῶν μονάδων τὸν κα λαμβάνων τὸν γινόμενον ξγ συντίθησι τῷ πρότερον εἰλημμένῳ τῷ ο · ἐπεὶ δὲ καὶ τοῦ ζ κατὰ τὴν μέθοδον ἐκβαλλομένου τετράκις οὐδὲν λείπεται, οὐ δ’οὗτος ἀντὶ τούτου λαβών τινα, ἀλλ’ἀπὸ τοῦ ἐκ τῆς συνθέσεως μόνων ἐκείνων τοῦτε δηλονότι ο καὶ τοῦ ξγ ἤτοι ἀπὸ τοῦ ρλγ ἐκβαλών τὸν ρε τὸν λειπόμενον κη λέγει πρὸς ἡμᾶς ἀναμφιβόλως εἶναι τὸν ἀριθμόν, ὅν ἡμεῖς ἐπὶ νοῦν κεκρατήκαμεν · ὑπὲρ οὐ καὶ ἐκπληττόμενοι τὸν λόγον ζητοῦμεν, ὅτου χάριν τόδε τοιαύτῃ μεθόδῳ εὑρίσκεται. ϛ. τῷ ἀποθνήσκοντι ἐπὶ τοῖς Ϛ παιδίοις, ὧν τὰ γ ἦσαν ἄρρενα καὶ τὰ γ θήλεα, καὶ διαταξαμένῳ περὶ τῶν ἐν τῷ κιβωτίῳ αὐτοῦ χρυσίνων, τὸν πρῶτον τῶν παίδων αὐτῷ τῶν ἀρρένων θεῖναι τοσούτους χρυσίνους ἐν τῷ κιβωτίῳ, ὅσοι εἰσὶν ἐν αὐτῷ, εἶτα λαβεῖν διακοσίους πεντήκοντα, τὸν δὲ μετ’ἐκεῖνον θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν σν, καὶ τὸν τρίτον ὁμοίως θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν σν, τὴν δὲ πρώτην τῶν θυγατέρων θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν ρκε, τὴν δὲ μετ’ἐκείνην θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν ρκε, καὶ τὴν τρίτην ὁμοίως θεῖναι τοσούτους, ὅσοι ὑπελείφθησαν, καὶ λαβεῖν ρκε, ὡς μηδένα οὕτω χρύσινον ὑπολειφθῆναι, σλβ ἦσαν χρύσινοι καὶ τρίτον χρυσίνου καὶ δωδέκατον καὶ ἑκατοστοενενηκοστοδεύτερον ἕν.