ιϚʹ. τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου αἰ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἀλλ’ἐν πλείονι χρόνῳ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ χειμερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἰ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτεροσοῦν τῶν συναφῶν. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΒ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ἔστω ὁ ΓΤ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΓΕ, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἰ 𐅵Ε, ΕΖ λέγω, ὅτι αἱ 𐅵Ε, ΕΖ οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἀλλ’ἐν πλείονι ἡ 𐅵Ε περιφέρεια τῆς ΕΖ περιφερείας. ἀπειλήφθωσαν γὰρ ταῖς 𐅵Ε, ΕΖ περιφερείαις ἴσαιτε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΗΘ, ΘΚ · αἱ ΗΘ, ΘΚ ἄρα περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ’ἐν πλείονι ἡ ΗΘ τῆς ΚΘ ἀλλ’ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ ΗΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ 𐅵Ε τὸ ἀφανές, ἐν ᾧ δὲ ἡ ΘΚ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει, ἡ ΕΖ τὸ ἀφανές · αἱ 𐅵Ε, ΕΖ ἄρα περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἀλλ’ἐν πλείονι ἡ 𐅵Ε τῆς ΕΖ. λέγω, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτεροσοῦν τῶν τροπικῶν συναφῶν ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. ἔστωσαν γὰρ καθ’ὧν φέρεται τὰ Δ, Ε, Ζ, Κ, Θ, Η σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ 𐅵Ο, ΚΞ, ΖΡ, ΚΝ, ΘΜ, ΗΛ. αἱ ΗΘ, ΛΜ ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ἀλλ’ἐν μὲν χρόνῳ ἡ ΗΘ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει, ἡ 𐅵Ε τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει · ἔν ᾧ δὲ ἡ ΛΜ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει, ἡ ΞΟ τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει · αἱ 𐅵Ε ΟΞ ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἔξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. ιζʹ. τῶν ἐφ’ἑκάτερα τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερειῶν ἴσωντε καὶ ἴσον ἀπεχουσῶν τοῦ ἰσημερινοῦ ἔν ᾦ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ ἔν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ Β𐅵Γ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΘ, καὶ τοῦ Β𐅵Γ ἰσημερινοῦ ἔφ’ἑκάτερα ἴσαιτε καὶ ἴσον ἀπέχουσαι περιφέρειαι ἔστωσαν αἱ ΘΚ, ΖΗ. λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΘΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΖΗ τὸ ἀφανές. κείσθω γὰρ τῇ ΖΗ ἴσητε καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ ΛΜ. αἱ ΜΛ, ΘΚ ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἔξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον · ἀλλ’ἐν ᾦ χρόνῳ ἡ ΜΛ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει, ἡ ΖΗ τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει · καὶ ἐν ᾦ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΚ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΗΖ περιφέρεια τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐν ᾦ χρόνῳ ἡ ΘΚ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἡ ΗΖ τὸ φανερὸν ἐξαλλάσσει. ιηʹ. τῶν δὲ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπολαμβανομένῳ ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ θερινῷ τροπικῷ ἴσων περιφερειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ἑτέρα αὐτῶν ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ ἀφανὲς καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΞ, χειμερινὸς δὲ ὁ 𐅵Ο, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ ΒΕΓ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΕΟ, καὶ ἐν τῷ ΤΑΕ ἡμικυκλίῳ ἴσαι περιφέρειαι ἔστωσαν αἰ ΖΗ, ΘΚ, ἔγγιον δὲ ἔστω τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἡ ΖΗ λέγω, ὅτι ἔν πλείονι χρόνῳ ἡ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ τὸ ἀφανὲς καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης. κείσθω γὰρ τῇ ΘΚ περιφερείᾳ ἴσητε καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ ΜΝ. ἔγγιον ἄρα ἡ Ζ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΜΝ. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΖΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΜΝ. τὸ φανερόν. ἀλλ’ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΜΝ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΘΚ τὸ ἀφανές · ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ τὸ ἀφανές. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ ἀφανές. ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπολαμβανομένῳ ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ ἴσων περιφερειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ἑτέρα αὐτῶν ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ φανερὸν καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης.