On the Moving Sphere

definitiones.1ὁμαλῶς λέγεται φέρεσθαι σημεῖα, ὅσα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἴσατε καὶ ὅμοια μεγέθη διεξέρχεται.

definitiones.2ἐὰν δὲ ἐπί τινος γραμμῆς φερόμενόν τι σημεῖον ὁμαλῶς δύο γραμμὰς διεξέλθῃ, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ὅτε χρόνος πρὸς τὸν χρόνον, ἐν τὸ σημεῖον ἑκατέραν τῶν γραμμῶν διεξῆλθεν, καὶ ἡ γραμμὴ πρὸς τὴν γραμμήν.

propositiones.1ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα. ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα, πόλοι δὲ αὐτῆς τὰ Α Β σημεῖα, καὶ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ λέγω ὅτι πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα. εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν κάθετος ἡ Γ𐅵, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν πόλων τῶν Α Β καὶ τῆς Γ𐅵 ἐπίπεδον · ποιήσει δὴ τομὴν κύκλον. ἔστω αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΑΒ εὐθείας περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, συμπεριενεχθήσεται αὐτῷ καὶ ἡ Γ𐅵 εὐθεῖα κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν τοῦ ΑΓΒ ἡμικυκλίου διαμένουσα τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθάς, καὶ γράψει κύκλον ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὐ κέντρον ἔσται τὸ 𐅵 σημεῖον, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Γ𐅵 πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ ΑΒ ἄξονι διὰ τὸ καὶ τὴν Γ𐅵 αἰεὶ διαμένειν τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθάς. καὶ φανερὸν ὅτι τὰ ΑΒ σημεῖα πόλοι ἔσονται τοῦ γραφέντος κύκλου, ἐπειδήπερ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετος ἦκται καὶ ἐκβέβληται ἡ ΑΒ ἕως τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει πρὸς ὀρθὰς τῷ ΑΒ ἄξονι τοὺς αὐτούς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ. οἱ δὲ περὶ τοὺς αὐτούς πόλους ὄντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσί · πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα.

propositiones.2ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθ’ὧν φέρεται. σφαῖρα γὰρ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας ἔστωσαν τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ Γ 𐅵 λέγω ὅτι τὰ 𐅵 σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθ’ὧν φέρεται. ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθ’ὧν φέρεται τὰ Γ 𐅵 σημεῖα οἱ ΓΕ 𐅵Ζ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς ΑΒ καὶ τοῦ Ι ἐπίπεδον · ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον. ἔστω δὲ αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ ἤτοι δὴ ἐλεύσεται καὶ διὰ τοῦ 𐅵 ἢ οὔ. ἐρχέσθω πρότερον καὶ ἔστω τὸ ΑΓ𐅵Β, καὶ ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας μετακεκινήσθω τὸ ΑΓ𐅵Β (ε) ἡμικύκλιον, καὶ ἐχέτω θέσιν ὡς τὴν ΑΕΖΒ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσὶν οἱ ΓΕ 𐅵Ζ, καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν οἱ ΑΓ𐅵Β ΑΕΖ Β, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ 𐅵 Ζ περιφερείᾳ · λέγω οὖν ὅτι ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ 𐅵 ἐπὶ τὸ Ζ. μὴ γάρ, ἀλλ’εἰ δυνατόν, ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ μὲν Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον παραγιγνέσθω τὸ δὲ 𐅵 ἐπὶ τὸ Η στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, καὶ τὸ 𐅵 ἐπὶ τὸ Η καὶ τὸ (Ϛ) ΑΓ𐅵Β ἡμικύκλιον θέσιν ἔξει ὡς τὴν ΑΕΗΒʹ. καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΑΕΖΒ ΑΕΗΒʹ. κύκλων, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Βʹ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τῆς σφαίρας. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ, ὅπερ ἄτοπον · οὐκ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ 𐅵 ἐπὶ τὸ Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐ δὲ ἐπ’ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον. μὴ ἐρχέσθω δὴ τὸ ἡμικύκλιον τὸ διὰ τῶν ΑΓΒ διὰ τοῦ 𐅵, ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθ’οὗ έρεται τὸ 𐅵 σημεῖον ὁ 𐅵ΔΘΖ, καὶ κείσθω τῇ ΓΕ ὁμοία ἡ 𐅵Η. ἀλλ’ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία · καὶ ἡ 𐅵Η ἄρα τῇ ΘΖ ἐστὶν ὁμοία. καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 𐅵Η περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ 𐅵 ἐπὶ τὸ παραγίγνεται καὶ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ. ἐν ὅσῳ δὲ χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, καὶ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ 𐅵 ἐπὶ τὸ Η.

propositiones.3ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, ἃς ἐν ἴσῳ χρόνῳ περιφερείας διεξέρχεται σημεῖά τινα τῶν παραλλήλων κύκλων καθ’ὧν φέρεται, αὗταί ὅμοιαί εἰσιν. ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, πόλοι δὲ τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ Γ 𐅵, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθ’ὧβ φέρεται τὰ Γ 𐅵 σημεῖα οἱ ΓΕ 𐅵Ζ, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Γ Ε περιφέρειαν διαπορευέσθω καὶ τὸ 𐅵 σημεῖον τὴν 𐅵Ζ περιφέρειαν · λέγω ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ 𐅵 περιφερείᾳ. εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁμοία ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΔΖ, ἔστω ὁμοία ἡ ΓΕ τῇ 𐅵Η ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον τὴν ΓΕ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ 𐅵 τὴν 𐅵Η. ἀλλὰ καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ τὴν ΓΕ διαπορεύεται καὶ τὸ 𐅵 τὴν 𐅵Ζ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ 𐅵 τὴν 𐅵Ζ διαπορεύεται καὶ τὸ 𐅵 τὴν 𐅵Η. καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου · ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 𐅵Η τῇ 𐅵Ζ, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον · οὐκ ἄρα ὁμοία ἐστὶν ἢ ΓΕ τῇ 𐅵Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐ δὲ ἄλλῃ τινὶ πλὴν τῇ 𐅵Ζ · ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΔΖ.

propositiones.4ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁρίζῃ τότε ἀφανὲς καὶ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας, στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐδὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ, ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ αἰεί ἐστι φανερά, τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ αἰεί ἐστιν ἀφανῆ. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁριζέτω τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές · λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐ. δὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ. ὅ ἐστιν ἐπὶ τῆς μυλοειδοῦς κινήσεως · τότε γὰρ καὶ ὁ ἰσημερινὸς ὁρίζων γίνεται, καὶ ἓξ μηνῶν ἡ ἡμέρα καὶ ἓξ μηνῶν ἠ νύξ. εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ, καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθ’ου φέρεται τὸ Γ σημεῖον ὁ Γ𐅵 ὁ Γ𐅵 ἄρα κύκλος πρὸς ὀρθάς ἐστιν τῷ ἄξονι. ἀλλὰ καὶ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ𐅵 κύκλος τῷ ΑΒ κύκλῳ. εἰ ἄρα τὸ Γ σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ, συμβαλεῖ ὁ Γ𐅵 κύκλος τῷ ΑΒ ὁρίζοντι, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον · ἔστιν γὰρ αὐτῷ παράλληλος · οὐκ ἄρα τὸ Γ σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα οὕτη δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ, ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ φανερῷ, τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ ἀφανεῖ.

propositiones.5ἐὰν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ὁρίζῃ τότε φανερὸν καὶ τὸ ἀφανές, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα στρεφομένης αὐτῆς καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρτε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα. διὰ γὰρ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ο ΑΒΓ ὁριζέτω τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές · λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐν τῇ περιφορὰ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύνει καὶ ἀνατέλλει. ἔστω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ 𐅵, καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθ’οὗ φέρεται τὸ 𐅵 σημεῖον ὁ Β𐅵ΓΕ · ἐν τῇ ἄρα περιφορᾷ τῆς σφαίρας τὸ 𐅵 σημεῖον, ὅταν μὲν κατὰ τὸ Γ γένηται, ἀνατέλλει, ὅταν δὲ κατὰ τὸ Β, δύνει. καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος τὸν Β𐅵ΓΕ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχατε αὐτὸν τεμεῖ ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΕΓ Β𐅵Γ · τὸ 𐅵 ἄρα σημεῖον αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον. ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρτε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα.

propositiones.6ϛʹ. ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος μένων ὁρίζῃ τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα, ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσωντε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις, καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός, ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἀφανής. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές · λέγω ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσωντε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις, καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός, ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἔσται ἀφανής. ἔστω γὰρ ὁ πόλος τῆς σφαίρας ὁ φανερὸς ὁ 𐅵, καὶ διὰ τοῦ 𐅵 καὶ τῶν τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ Α𐅵Ε, καὶ κείσθω τῇ Α𐅵 περιφερείᾳ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ πόλῳ τῷ 𐅵 διαστήματι δὲ τῷ Α𐅵 κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, πόλῳ δὲ τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΘΚ φανερὸν δὴ ὅτι ὁ ΑΖΗ κύκλος τῷ ΓΘΚ κύκλῳ ἴσοςτε καὶ παράλληλός ἐστιν καὶ ἔτι ὁ ΑΒΓ κύκλος τῶν ΑΖΗ ΓΘΚ κύκλων ἐφάπτεται · λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁ μὲν ΑΖΗ κύκλος αἰεί ἐστι φανερός, ὁ δὲ ΓΘΚ αἰεί ἐστιν ἀφανής. εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁ ΑΖΗ κύκλος αἰεὶ φανερὸς ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ὁ ΑΖΗ κύκλος συμβαλεῖ τῷ ΑΒΓ ὁρίζοντι. συμβαλλέτω κατὰ τὸ Λ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α𐅵 𐅵Λ ΑΓ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ Α𐅵Γ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχατε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. καὶ ὁ Α𐅵Γ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον · κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ Α𐅵Γ καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα τέμνεται κατὰ τὸ 𐅵, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ Α𐅵 (τοῦτο γὰρ φανερόν) · ἡ ἄρα Α𐅵 εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ 𐅵 πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν · ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Α𐅵 εὐθεῖα τῆς 𐅵Λ εὐθείας. ἀλλὰ καὶ ἴση (πόλος γάρ ἐστιν τὸ 𐅵 σημεῖον τοῦ ΑΖΗ κύκλου), ὅπερ ἄτοπον · ἐν ἄρα τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ ΑΖΗ κύκλος οὐ δύσεται. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐ δὲ ὁ ΓΘΚ ἀνατελεῖ · ὁ μὲν ΑΖΗ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν φανερός, ὁ δὲ ΓΘΚ αἰεί ἐστιν ἀφανής.

propositiones.7ἐὰν ὁ ὁρίζων ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλος τότε φανερὸν τῇς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς πρὸς τὸν ἄξονα, οἱ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι καὶ τέμνοντες τὸν ὁρίζοντα κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάςτε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται, ἔτι δὲ καὶ ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι πρὸς τὸν ὁρίζοντα. ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁρίζων τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς ὁ ΑΒ𐅵Γ λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα, οἱ δὲ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι ἔστωσαν οἱ ΑΒ Γ𐅵 λέγω ὅτι οἱ ΑΒ Γ𐅵 κύκλοι κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάςτε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται. μὴ γάρ, ἀλλ’εἰ δυνατόν, ποιείσθω ὁ ΑΒ κύκλος δι’ἄλλου τινὸς σημείου τὴν ἀνατολὴν τοῦ Ε, διὰ δὲ τοῦ Α τὴν δύσιν, καὶ ἔστω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τὸ σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ καὶ τῶν τοῦ ΑΒ𐅵Γ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΗΖ ΖΕ ΖΒ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΗΖΘ κύκλον τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒ𐅵Γ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχατε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς · διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τοῦ ΑΒ𐅵Γ κύκλου. καὶ ὁ ΓΖΘ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒ𐅵Γ κύκλον · κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒ𐅵Γ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΗΘ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ ΗΖΘ, καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος τοῦ ΗΖΘ περιφέρεια εἰς ἄνισα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΖΗ περιφέρεια · ἡ ΖΗ ἄρα εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶν πασῶντῶν ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὸν ΑΒ𐅵Γ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν · καὶ ἡ ἔγγιον ἄρα τῆς ΖΗ ἐλάσσων ἐστίν · ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῆς ΖΒ. ἀλλὰ καὶ ἴση, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον · οὐκ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος δι’ἄλλου τινὸς σημείου ἢ διὰ τοῦ Β τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται, διὰ δὲ τοῦ Α τὴν δύσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ὁ Γ𐅵 κύκλος διὰ μὲν τοῦ 𐅵 τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται, διὰ δὲ τοῦ Γ τὴν δύσιν · ὥστε οἱ ΑΒ Γ𐅵 κύκλοι αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ὁρίζοντος τάςτε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται. λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν ΑΒ𐅵Γ ὁρίζοντα. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ Γ𐅵 ΚΜ ΛΝ. ἐπεὶ ὁ ΗΖΘ κύκλος τοὺς ΑΒ Γ𐅵 ΑΓ𐅵Β κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτοὺς τεμεῖ · ὁ ΓΖΘ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν ΑΒ Γ𐅵 ΑΒ𐅵Γ κύκλων · ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒ ΑΒ𐅵Γ κύκλων ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΗΖΘ καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ ἡ τῶν ΑΒ Γ𐅵ΒΑ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστιν πρὸς τὸν ΗΖΘ κύκλον · καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς ἐν τῷ ΗΖΚΘ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ. ἅπτεται δὲ τῆς ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΗΘ ΚΜ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΗΖΘ κύκλου ἐπιπέδῳ · ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν Ηθ ΚΜ ὀρθή ἐστιν · ὥστε ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΘ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν ἐν ᾗ κέκλιται ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ𐅵Γ κύκλον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνία ἐστὶν ἡ κλίσις ἔν ᾗ κέκλιται ὁ Γ𐅵 κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ𐅵Γ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ Γ𐅵 ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ΖΘ τέμνεται, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ αἱ ΚΜ ΛΝ εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν · ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΝ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνίᾳ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΚΜΘ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ𐅵Γ κύκλον, ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ Γ𐅵 κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ𐅵Γ κύκλον · οἱ ΑΒ Γ𐅵 ἄρα κύκλοι ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν ΑΒ𐅵Γ κύκλον.

propositiones.8οἱ τῶν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι μέγιστοι κύκλοι, ὧν καὶ ὁ ὁρίζων ἅπτεται, στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐφαρμόσουσιν ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα. ἔστω ἐν σφαίρᾳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, μέγιστος δὲ τῶν μὲν αἰεὶ ἀφανῶν ἔστω ὁ ΛΕ, τῶν δὲ αἰεὶ φανερῶν ἔστω ὁ Α𐅵, ὧν ἐφάπτεται ὁ ΑΒΓ ὁρίζων, καὶ γεγράφθω τις μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τῶν Α𐅵 ΛΕ ὁ 𐅵ΒΕΓ · λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ὁ 𐅵ΒΕΓ κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν ΑΒΓ ὁρίζοντα. γεγράφθω γάρ τις τῷ Α𐅵 παράλληλος κύκλος ὁ ΗΖΘ · ἀσύμπτωτον δή ἐστιν τὸ ἀπὸ τοῦ 𐅵 ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Γ Ζ Ε μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Η Β Λ μέρη. ἐπεὶ οὖν παράλληλοί εἰσιν κύκλοι οἱ Α𐅵 ΖΗΘ, καὶ γεγραμμένοι εἰσὶν κύκλοι μέγιστοι οἱ ΑΒΓ 𐅵ΒΕΓ ἑνὸς μὲν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι τοῦ. Α𐅵, τὸν δὲ ΗΖΘ τέμνοντες, καὶ εἰσὶν μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων αἱ 𐅵ΚΑ ΖΗ ΛΕ περιπεριφέρεια φέρειαι, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ 𐅵ΚΑ περιφέρεια τῇ ΖΗ καὶ τῇ ΛΕ περιφερείᾳ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ 𐅵 τὴν 𐅵ΚΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγίγνεται καὶ τὸ Ζ τὴν ΖΗ διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται καὶ ἔτι τὸ Ε τὴν ΛΕ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται · ὥστε ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ὅταν το 𐅵 ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, τότε καὶ τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Η παρέσται καὶ τὸ Ε ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐφαρμόσει ἡ 𐅵ΖΕ ἐπὶ τὴν ΑΗΛ ὥστε καὶ ὅλος ὁ 𐅵ΒΚΓ κύκλος ἐφ’ὅλον τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐφαρμόσει · εἰ γὰρ οὐκ ἐφαρμόσει, δύο κύκλοι τεμοῦσιν ἀλλήλους κατὰ πλείονα σημεῖα, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον · στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἐφαρμόσει ὁ 𐅵ΒΕ κύκλος ἐπὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον.

propositiones.9Θʹ. ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὣν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, τῶν ἅμα ἀνατελλόντων σημείων τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ ὕστερον δύνει, τῶν δὲ ἅμα δυνόντων τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ πρότερον ἀνατέλλει. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τότε φανέρὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ. ἀφανές, καὶ εἰλήφθω δύο σημεῖα τὰ Γ Ε ὁμόσε ἀνατέλλοντα, καὶ ἔστω ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τὸ Γ ἤπερ τὸ Ε λέγω ὅτι τὰ Γ Ε σημεῖα οὐχ ὁμόσε δύσεται, ἀλλ’ὕστερον δύσεται τὸ Γ τοῦ Ε. ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθ’ὧν φέρεται τὰ ΓΕ σημεῖα οἱ ΓΖΘ ΕΗΚ. ἐπεὶ ὁ ΑΒΓ ὁρίζων λοξός ἐστιν πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ πρὸς τοὺς παραλλήλους λοξός ἐστιν · ἡ ΓΖ ἄρα περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. ἔστω τῇ ΕΗ ὁμοία ἡ ΓΛ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται καὶ τὸ Ε ἐπὶ τὸ Η. ἀλλ’ὅταν μὲν τὸ Ε ἐπὶ τὸ Η παραγένηται, δύνει τὸ Ε, ὅταν δὲ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Λ παραγένηται, οὐδέπωδύνει τὸ Γ, ἀλλ’ἔτι ὑπὲρ γῆν ἐστιν · πρότερον ἄρα δύνει τὸ Ε τοῦ Γ · ὥστε ὕστερον δύνει τὸ Γ τοῦ Ε. πάλιν δὲ δυνέτω τὰ ΖΗ ἄστρα ὁμόσε · λέγω ὅτι οὐχ ἅμα ἀνατέλλει, ἀλλὰ πρότερον τὸ Ζ τοῦ Η. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘΓ λοιπῆς τῆς ΗΚΕ ἐλάσσων ἐστὶν ὁμοία. ἔστω ἡ ΖΘΓ ὁμοία τῇ ΗΚ. ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΖΘΓ περιφέρεια τῇ ΗΚ περιφερείᾳ, στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἅμα τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται καὶ τὸ Η ἐπὶ τὸ Κ. πρότερον δὲ τὸ Η ἐπὶ τὸ Κ παραγίγνεται ἤπερ ἐπὶ τὸ Ε · πρότερον ἄρα καὶ τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται ἤπερ τὸ Η ἐπὶ τὸ Ε. ἀλλ’ὅταν μὲν τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγένηται, ἀνατέλλει τὸ Ζ, ὅταν δὲ τὸ Η ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, ἀνατέλλει τὸ Η · πρότερον ἄρα ἀνατέλλει τὸ Ζ τοῦ Η.

propositiones.10ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁριζέτω τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ ἔστω μέγιστος τῶν αἰεὶ φανερῶν ὁ ΑΖΕ κύκλος, ὁ δὲ φανερὸς πόλος τῆς σφαίρας ἔστω ὁ 𐅵, ὁ δὲ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἔστω ὁ Β𐅵Γ λέγω ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ Β 𐅵Γ κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΓ ὁρίζοντα. γεγράφθω γὰρ διὰ τῶν Α 𐅵 σημείων μέγιστος κύκλος ὁ Α𐅵Θ ἤξει δὴ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ζ𐅵Η Α𐅵Ε τὸν ΑΖΗ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ · ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελεύσεται καὶ τὸ Η τὴν ΗΕ · στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ Ζ τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, καὶ τὸ τὴν ΗΕ διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, ἡ Ζ𐅵Η περιφέρεια ἐφαρμόσει ἐπὶ τὴν Α𐅵Ε περιφέρειαν · ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β𐅵Γ κύκλος ἐφ’ὅλον τὸν Α𐅵Θ κύκλον ἐφαρμόσει. ἀλλ’ὁ Α𐅵Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον · καὶ ὁ Β𐅵Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. πάλιν δὴ στρεφομένης τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τὴν ΕΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, τότε καὶ τὸ Ζ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α σημείου τὴν ΑΗΕ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παρέσται, καὶ ἐφαρμόσει ἡ ΖΔΗ περιφέρεια ἐπὶ τὴν Α𐅵Ε περιφέρειαν · ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β𐅵Γ κύκλος ἐφ’ὅλον τὸν Α𐅵Θ κύκλον ἐφαρμόσει. ὁ δὲ Α𐅵Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον · καὶ ὁ Β𐅵 ;Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. πάλιν δὴ ὅταν τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΗ διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγένηται, καὶ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ παρέσται, καὶ ὁ Β𐅵ΓΘ κύκλος θέσιν ἕξει ἣν εἶχεν ἐξ ἀρχῆς ὥστε οὐκ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα πλέον ἢ δὶς ἔσται · ἐν μιᾷ ἄρα περιφορὰ τῆς σφαίρας ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

propositiones.11ιά. ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος μειζόνων ἄπτηται ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἄπτεται, κατὰ πᾶσαντὴντοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ών ἐφάπτεται τάςτε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὢν πρὸς, τὸν ἄξονα ὁριζέτω τότε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, καὶ ἐφαπτέσθω τινὸς κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος ὁ ΓΖ μειζόνων ἁπτέσθω τῶν ΖΓ ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ Ζ Η δυτικὰ δὲ τὰ Β Γ · λέγω ὅτι ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΗ περιφερείας ἀνατελεῖ, διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύσεται. εἰλήφθω γάρ τινα σημεῖα ἐπὶ τῆς ΖΓ περιφερείας τυχόντα τὰ Θ Κ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθ’ών φέρεται τὰ Θ Κ σημεῖα οἱ ΑΘΜ ΜΚΞ ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Ζ ἀνατέλλει διὰμ δὲ τοῦ Β δύνει, τὸ δὲ Θ αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Μ ἀνατέλλει διὰ δὲ τοῦ Λ δύνει, ἡ ΖΘ ἄρα περιφέρεια αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΜ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΒΛ δύνει · διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ περιφέρεια διὰ μὲν τῆς ΜΞ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΛΜ δύνει, ἡ δὲ ΚΓ διὰ μὲν τῆς ΞΗ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΝΓ δύνει · ὅλον ἄρα τὸ ΖΓ ἡμικύκλιον αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΗ περιφερείας ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον · ὥστε ὅλος ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ κατὰ πᾶσαν τὴν τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξύ τῶν παραλλήλων κύκλων τάςτε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται. ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος φερόμενόν τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ αἰεὶ δίχα τέμνῃ, μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, ἑκάτερος αὐτῶν μέγιστος ἔσται. ἔστω ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος ὁ ΑΒΓ, φερόμενον δέ τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων τὸν Γ𐅵Β αἰεὶ δίχα τεμνέτω, μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας · λέγω ὅτι ἕκάτερος τῶν ΑΓΒ Γ𐅵Β κύκλων μέγιστός ἐστιν. ἔστω γὰρ αὐτῶν κοινὴτομὴ ἡ Β ἡ ΒΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ Γ𐅵Β κύκλου. τετμήσθωε ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον · τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ Γ𐅵Β κύκλου. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Ε σημεῖον αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδω καὶ κατὰ πᾶσαν περιφορὰν τῆς σφαίρας · λέγω δὴ ὅτι τὸ Ε σημεῖον ἐπὶ τοῦ ἄξονός ἐστιν. εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον γράψει κύκλον πρὸς ὀρθὰς τῷ ἄξονι. γραφέτω τὸν ΕΖΗ. ἐπεὶ τὸ Κ σημεῖον αἰεὶ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶν καὶ φέρεται κατὰ κύκλου τοῦ ΕΖΗ, ὁ ΚΖ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ. καὶ ἔστιν ὁ ΕΖΗ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα · καὶ ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ἄξονα, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται · οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον οὐκ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος · ἐπὶ τοῦ ἄξονος ἄρα ἐστίν. λέγω δὴ ὅτι κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον. μὴ γάρ, ἀλλ’εἰ δυνατόν, ἔστω κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ ἄξων ἄρα ἐστὶ τῆς σφαίρας ἡ ΘΚ εὐθεῖα (ἑκάτερον γὰρ τῶν Θ Ε σημείων ἐπὶ τοῦ ἄξονός ἐστιν). καὶ ἔπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἔστὶν ὁ ΓΔΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ Θ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ Γ𐅵Β κύκλου ἔπέζευκται εὐθεῖα ἡ ΘΕ, ἡ ΘΕ ἄρα ὀρθή ἔστι πρὸς τὸν Γ𐅵Β κύκλον · ὥστε καὶ ὁ Γ𐅵Β κύκλος ὀρθός ἔστι πρὸς τῆ ΘΕ. καὶ ἔστιν ἡ ΘΕ ἄξων · ὁ Γ𐅵Β ἄρα κύκλος ὀρθός ἔστιν πρὸς τὸν ἄξονα, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται · οὐκ ἄρα τὸ Θ σημεῖον κέντρον ὲστὶ τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐ δὲ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ε τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἔστὶ τῆς σφαίρας. καὶ ἔστιν ἔν ἑκατέρῳ τῶν ΑΒΓ ΓΔΒ κύκλων · μέγιστος ἄρα ἔστὶν ἑκάτερος τῶν ΑΒΓ Γ𐅵Β κύκλων.